Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

знакоположительных рядов

Ряд , в котором все , называется положительным. Для такого ряда последовательность частичных сумм является неубывающей. Для того чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Рассмотрим следующие достаточные признаки сходимости положительных рядов.

1. Признак сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Например, исследовать сходимость ряда

,

для этого ряда необходимый признак сходимости выполняется. Сравним данный ряд с рядом, полученным из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем :

,

который будет сходиться.

Так как члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов взятого сходящегося ряда

, ,

то на основании признака сравнения ряд сходится.

2. Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел отношения -го члена к n -му члену . Тогда: 1) при k < 1 ряд сходится; 2) при k > 1 ряд расходится. При k = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других достаточных признаков.

Например, исследовать сходимость ряда , где . Проверим необходимое условие . Найдем

Применяя признак Даламбера, получаем, что:

.

Так как k < 1, то ряд сходится.

3. Интегральный признак. Пусть дан ряд

,

члены этого ряда есть значения некоторой функции f (x), положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда, если сходится, то сходится и ряд , если же расходится, то ряд расходится.

С помощью этого признака можно показать, что обобщенный гармонический ряд сходится при значениях и расходится при значениях .

Контрольные вопросы

1. Что называется числовым рядом?

2. Какой ряд называется сходящимся? Приведите примеры.

3. Перечислите свойства сходящихся рядов.

4. В чем состоит необходимое условие сходимости ряда?

5. Сформулируйте признак сравнения сходимости рядов с положительными элементами.

6. В чем состоит признак Даламбера сходимости рядов с положительными элементами?

7. Сформулируйте интегральный признак сходимости рядов с положительными элементами.