Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.

Пусть функция y = f(X) определена в точке M(X) и в некоторой ее окрестности. Составим полное приращение функции в точке М(Х)= M(x₁, x₂,..., x_n). Для этого дадим приращения каждой независимой переменной DМ(Dх₁, Dx₂,..., Dx_n). В результате получим «новую» точку М + DМ = (x₁+Dx₁, x₂+Dx₂,..., x_n+Dx_n), которая принадлежит данной окрестности точки М. Тогда полным приращением Dy функции y = f(X) в точке M(X) будет являться разность:

Dy = f(M+DM) – f(M) = f(x₁+Dx₁, x₂+Dx₂,..., x_n+Dx_n) - f(x₁, x₂,..., x_n) (1).

Dy = + +...+ + a1Dx1+a2Dx2+...+ anDxn

Dy = + +...+ + a₁Dx₁+a₂Dx₂+...+ a_nDx_n (2),

где a₁, a₂,... a_n – бесконечно малые функции соответственно при Dx₁ ® 0, Dx₂ ® 0,... Dx_n ® 0.

Сумма первых n слагаемых в равенстве (2) представляет собой линейное выражение относительно Dx₁, Dx₂,..., Dx_n и является главной линейной частью полного приращения функции y = f(X), которое называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dy или df(X):

dy = = + +...+ (3).

Для независимых переменных x₁, x₂,..., x_n полагают Dx₁ = dx₁, Dx₂ = dx₂,..., Dx_n = dx_n, тогда формулу (3) можно переписать в виде:

dy = = + +...+ (4).

Теорема 1. (необходимое условие дифференцируемости функции)

Если функция y = f(X) дифференцируема в точке M(X), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные , i = 1,2,…n.

Теорема 2. (достаточное условие дифференцируемости функции)

Если функция y = f(X) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки М(Х), причем эти производные непрерывны в самой точке М(Х), то данная функция дифференцируема в точке М(Х). (без доказательства).