Читайте также:
|
Для функции многих переменных достаточный признак экстремума намного более сложен, чем для функции одной переменной (Если в точке х = х0: f(x0)=0, тогда если f”(x0) < 0 то в этой точке функция имеет максимум, а если f”(x0) > 0 то - минимум).
Ограничимся случаем функции двух переменных:
Пусть имеем функцию z = f (x,y) и M0(x0,y0)- стационарная точка этой функции, т.е. f’x(x0,y0) = f’y(x0,y0) =0.
Обозначим А = f”xx(x0,y0), B = f”xy(x0,y0), C = f”yy(x0,y0), D = AC – B2.
Теорема 2 (достаточный признак экстремума)
Если D>0 и A<0, то в точке М0(x0,y0) функция имеет максимум;
Если D>0 и A>0, то в точке М0(x0,y0) – минимум;
Если D<0, то в точке М0(x0,y0) экстремума нет.
В случае, если D = 0 экстремум в точке М0(x0,y0) может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования (без доказательства).
Пример.
Найти экстремум функции: z = x2+xy+y2-3x-6y.
Решение
1. z’x= 2x + y -3; z’y= x + 2y – 6.
2. Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
2x + y – 3 = 0
x + 2y -6 =0
2x + y =3
x +2y = 6 ´2
2x + y = 3
2x + 4y = 12
 |
- 3y = -9
y = 3 x = 0. Отсюда получим стационарную точку М (0,3).
3. z”xx = 2 = A
z”xy = 1 = B
z”yy= 2 = C
- экстремум функции в точке М есть, а так как А = 2 >0,
то в точке М(0,3) – минимум.
4. zmin(0,3) = -9
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 84 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |