Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Формула полной вероятности и формулы Бейеса

Читайте также:
  1. II. Для решения следующих задач используйте формулы для сочетаний
  2. А10. Закон самоіндукції, формула.
  3. А2. Формула закону електромагнітної індукції.
  4. Абсолютная погрешность (определение и формула)
  5. Аксиоматическое определение вероятности
  6. Алгоритм разветвляющейся структуры в полной форме
  7. Анализ устойчивости исходной системы по полной модели
  8. Балансы основных фондов по полной и остаточной стоимости
  9. В экономике имеет место абсолютная гибкость заработной платы, обеспечивающая выравнивание AD и AS на уровне полной занятости
  10. Вероятности

При вычислении вероятностей сложных событий часто приходится одновременно применять теоремы сложения и умножения. Рассмотрим одну часто встречающуюся схему.

1) Пусть событие А может произойти одновременно с одним и только с одним из n попарно несовместных событий H1, H2, ...,Hn , называемых гипотезами. Тогда его можно представить в виде суммы несовместных слагаемых:

А = Н1А + Н2А + ... + НnА,

следовательно, применяя сначала теорему сложения для несовместных событий, а затем теорему умножения для совместных событий, получим

(4.1)

Эта формула называется формулой полной вероятности, поскольку при вычислении вероятности данного события А мы учитываем все возможные гипотезы.

Схема применения формулы полной вероятности имеет две характерные особенности:

а) относительно появления события А существует некоторая неопределенность, то есть можно сделать несколько предположений (гипотез);

б) опыт проходит в два этапа: сначала осуществляется какая-либо гипотеза, а затем уже само событие А.

Сформулируем теперь обратную задачу. Пусть имеется та же схема, что и в пункте 1), но интересующее нас событие А уже произошло. Нужно найти при этом предположении вероятности гипотез, то есть найти условные вероятности P(Hi /A) (i = 1,2,...,n).

Это можно сделать с помощью так называемых формул Бейеса:

(4.2)

где Р(А) вычисляется по формуле (4.1).

Пример 1.Имеется 5 одинаковых на вид урн следующих составов:

2 урны содержат по 3 белых и 3 черных шара,

2 урны содержат по 4 черных шара,

1 урна содержат 1 белый и 5 черных шаров.

Наудачу выбирается урна и из нее вынимается шар. Найти вероятность того, что он будет белым. Решение. Пусть А - выход белого шара.

Поскольку мы не знаем, из какой именно урны был вынут шар, можно сделать три гипотезы:

H1 - выбор урны первого состава;

Н2 - выбор урны второго состава;

Н3 - выбор урны третьего состава.

Тогда А = H1А + Н2 А + Н3А , следовательно, по формуле полной вероятности

P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+P(H3)P(A/H3). (4.3)

Вычислим все нужные вероятности по классическому определению. Так как всего урн 5, из них 2 первого состава, 2 второго и 1 третьего, то

Условные вероятности P(A/Hk) -это вероятности вынуть белый шар из урны определенного состава, поэтому

Подставляя найденные вероятности в (4.3), получим

Пример 2.Вернемся к первому примеру данного параграфа и предположим, что в условиях этого примера мы вынули из урны шар, и он оказался белым. Нужно найти вероятность того, что вынут из урны 1-го состава, 2-го состава, 3-го состава.

Решение. Мы уже нашли, что в данных условиях р(а) = , тогда по формулам (4.2)

 

Естественно, что для урны 1-го состава эта вероятность больше, чем для урны 3-го состава (там белых шаров больше), а для урны 2-го состава вероятность равна нулю (там белых шаров вообще нет), но с помощью формул Бейеса мы смогли не только оценить, но и точно указать эти вероятности.

Как видно из формул Бейеса, чтобы найти вероятность какой-либо гипотезы, нужно взять соответствующее этой гипотезе слагаемое в формуле полной вероятности и разделить его на полную вероятность события А. Таким образом, формулы Бейеса показывают, какую долю составляет каждая гипотеза в полной вероятности данного события.

 


Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 11 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2018 год. (0.007 сек.)