Читайте также:
|
|
Итерационные методы решения систем линейных уравнений отличаются самоисправляемостью и простотой реализации на ЭВМ. Итерационные методы требуют задания начальных приближений. Сходимость итерационных методов зависит от свойств матрицы системы и выбора начальных приближений.
Рассматривается следующая система:
,
где .
1. Метод итераций
Перед применением метода итераций систему (1) необходимо привести к эквивалентному виду
.
Метод итераций для системы (2) имеет вид
.
Теорема. Если , где то метод итераций сходится при любом начальном приближении со скоростью геометрической прогрессии.
В качестве начального приближения обычно выбирается вектор свободных членов , тогда для оценки числа итераций, необходимых для достижения заданной точности, можно использовать формулу
Пример. Методом итераций решить систему линейных уравнений
предварительно оценив число необходимых для этого шагов, .
Число шагов, дающих ответ с точностью до 0,001, определим из соотношения (3). Здесь
,
; значит, итерационный процесс сходится;
,
. Имеем
; ; ; ; .
В качестве нулевого приближения выбираем вектор С.
Вычисления расположим в таблице
2,15 | -0,83 | 1,16 | 0,44 | |
2,9719 | -1,0775 | 1,5093 | -0,4326 | |
3,3555 | -1,0721 | 1,5075 | -0,7317 | |
3,5017 | -0,0106 | 1,5015 | -0,8111 | |
3,5511 | -0,9277 | 1,4944 | -0,8312 | |
3,5637 | -0,9563 | 1,4834 | -0,8298 | |
3,5678 | -0,9566 | 1,4890 | -0,8332 | |
3,5700 | -0,9575 | 1,4889 | -0,8356 | |
3,5709 | -0,9573 | 1,4890 | -0,8362 | |
3,5712 | -0,9571 | 1,4889 | -0,8364 | |
3,5713 | -0,9570 | 1,4890 | -0,8364 |
2. Метод Якоби
Метод Якоби для системы (1) в координатной форме имеет вид
,
Теорема. Пусть - матрица с диагональным преобладанием, то есть
.
Тогда метод Якоби сходится.
Если систему (1) представить в виде (2), то можно оценить количество итераций по формуле (3).
Пример. Методом Якоби решить систему линейных уравнений
предварительно приведя матрицу системы к матрице с диагональным преобладанием и оценить число необходимых шагов для достижения точности 0,001.
Приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк:
Для оценки числа итераций запишем эту систему в виде (2), поделив каждое уравнение на диагональный элемент:
Число шагов, дающих ответ с точностью до 0,001, определяется из соотношения (3). Здесь
,
;
,
. Имеем
; ; ; .
Нулевое приближение ;
Вычислим первое приближение
где - элементы матрицы
,
а - элементы вектора .
, .
, .
, .
Для окончания вычислений нужно произвести 20 итераций.
3. Метод простой итерации
Метод простой итерации для системы (1) имеет вид
или в канонической форме
,
где - постоянный итерационный параметр.
Теорема. Если - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод простой итерации сходится при .
Теорема. Если , где , то метод простой итерации сходится.
Пример. Пусть матрица A имеет вид
,
тогда
;
. (складываются модули элементов в каждой строке)
Выберем так, чтобы выполнялось условие сходимости .
.
Число итераций, необходимое для заданной точности, можно вычислить как в случае метода итераций.
4. Метод Зейделя
Итерационный метод Зейделя для системы (1) в координатной форме имеет вид
,
Теорема. Если - матрица с диагональным преобладанием, тогда метод Зейделя сходится для любого начального приближения.
Теорема. Если - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод Зейделя сходится.
Пример. Методом Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений
,
приведя ее к виду, удобному для итераций.
Приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк
Нулевое приближение .
Первое приближение
и т.д.
Окончание вычислений определяется условием
,
где - заданное число.
5. Метод верхней релаксации
Метод верхней релаксации является обобщением метода Зейделя. В координатной форме метод верхней релаксации имеет следующий вид
,
При этот метод совпадает с методом Зейделя.
Теорема. Если - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод верхней релаксации сходится при .
Окончание вычислений определяется условием
,
где - заданное число.
6. Метод минимальных невязок
Метод минимальных невязок определен для систем уравнений с симметричной положительно определенной матрицей . Этот метод определяется формулой
, (4)
где параметр выбирается из условия минимума при заданной норме :
,
Теорема. Если - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод минимальных невязок сходится.
Окончание вычислений определяется условием
,
где - заданное число.
7. Метод скорейшего спуска
Если в формуле (4) итерационный параметр выбирается из условия минимума , где при заданном , то этот метод называется методом скорейшего спуска. Итерационные параметры вычисляются по формуле
, .
Теорема. Пусть А – симметричная положительно определенная матрица, тогда метод скорейшего спуска сходится.
Окончание вычислений определяется условием
,
где - заданное число.
Задачи
Методом итераций решить системы линейных уравнений, предварительно приведя их к виду, удобному для итераций и оценив число необходимых для этого шагов, .
№ 1.
№ 2.
№ 3.
№ 4.
Методом Якоби решить системы линейных уравнений, предварительно приведя матрицу системы к матрице с диагональным преобладанием и оценив число необходимых шагов для достижения точности 0,001.
№ 5.
№ 6.
№ 7.
№ 8.
Методом простой итерации решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001.
№ 9.
№ 10.
№ 11.
№ 12.
Методом Зейделя решить системы линейных уравнений, приведя их к виду, удобному для итераций, .
№ 13.
№ 14.
№ 15.
№ 16.
Методом верхней релаксации решить системы линейных уравнений, приведя их к виду, удобному для итераций, .
№ 17.
№ 18.
№ 19.
№ 20.
Решить системы линейных уравнений методом минимальных невязок и методом скорейшего спуска, .
№ 21.
№ 22.
№ 23.
№ 24.
Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 57 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ | | | Под структурой следует понимать единство разнородных элементов в пределах целого. |