Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Читайте также:
  1. A) Закрытую систему
  2. A) Схватив окно за заголовок левой кнопкой мыши или через системное меню
  3. Amp;C) популяционные и экосистемы.
  4. B) По применимости к ним тех или иных форм уравнений кинетики, как сумма степеней концентрации
  5. B. Симпато-адреналової системи
  6. C) Методы стимулирования поведения деятельности
  7. CAD/CAM-системы в ТПП
  8. CALS-технологий и единая интегрированной системы управления вуза
  9. DSM — система классификации Американской психиатрической ассоциации
  10. E) экономические законы и развитие экономических систем

 

Итерационные методы решения систем линейных уравнений отличаются самоисправляемостью и простотой реализации на ЭВМ. Итерационные методы требуют задания начальных приближений. Сходимость итерационных методов зависит от свойств матрицы системы и выбора начальных приближений.

Рассматривается следующая система:

,

где .

 

1. Метод итераций

Перед применением метода итераций систему (1) необходимо привести к эквивалентному виду

.

Метод итераций для системы (2) имеет вид

.

Теорема. Если , где то метод итераций сходится при любом начальном приближении со скоростью геометрической прогрессии.

В качестве начального приближения обычно выбирается вектор свободных членов , тогда для оценки числа итераций, необходимых для достижения заданной точности, можно использовать формулу

Пример. Методом итераций решить систему линейных уравнений

предварительно оценив число необходимых для этого шагов, .

Число шагов, дающих ответ с точностью до 0,001, определим из соотношения (3). Здесь

,

; значит, итерационный процесс сходится;

,

. Имеем

; ; ; ; .

В качестве нулевого приближения выбираем вектор С.

Вычисления расположим в таблице

  2,15 -0,83 1,16 0,44
  2,9719 -1,0775 1,5093 -0,4326
  3,3555 -1,0721 1,5075 -0,7317
  3,5017 -0,0106 1,5015 -0,8111
  3,5511 -0,9277 1,4944 -0,8312
  3,5637 -0,9563 1,4834 -0,8298
  3,5678 -0,9566 1,4890 -0,8332
  3,5700 -0,9575 1,4889 -0,8356
  3,5709 -0,9573 1,4890 -0,8362
  3,5712 -0,9571 1,4889 -0,8364
  3,5713 -0,9570 1,4890 -0,8364

 

2. Метод Якоби

Метод Якоби для системы (1) в координатной форме имеет вид

,

Теорема. Пусть - матрица с диагональным преобладанием, то есть

.

Тогда метод Якоби сходится.

Если систему (1) представить в виде (2), то можно оценить количество итераций по формуле (3).

Пример. Методом Якоби решить систему линейных уравнений

предварительно приведя матрицу системы к матрице с диагональным преобладанием и оценить число необходимых шагов для достижения точности 0,001.

Приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк:

Для оценки числа итераций запишем эту систему в виде (2), поделив каждое уравнение на диагональный элемент:

Число шагов, дающих ответ с точностью до 0,001, определяется из соотношения (3). Здесь

,

;

,

. Имеем

; ; ; .

Нулевое приближение ;

Вычислим первое приближение

где - элементы матрицы

,

а - элементы вектора .

, .

, .

, .

Для окончания вычислений нужно произвести 20 итераций.

 

3. Метод простой итерации

Метод простой итерации для системы (1) имеет вид

или в канонической форме

,

где - постоянный итерационный параметр.

Теорема. Если - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод простой итерации сходится при .

Теорема. Если , где , то метод простой итерации сходится.

Пример. Пусть матрица A имеет вид

,

тогда

;

. (складываются модули элементов в каждой строке)

Выберем так, чтобы выполнялось условие сходимости .

.

Число итераций, необходимое для заданной точности, можно вычислить как в случае метода итераций.

 

4. Метод Зейделя

Итерационный метод Зейделя для системы (1) в координатной форме имеет вид

,

Теорема. Если - матрица с диагональным преобладанием, тогда метод Зейделя сходится для любого начального приближения.

Теорема. Если - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод Зейделя сходится.

Пример. Методом Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений

,

приведя ее к виду, удобному для итераций.

Приведем систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк

 

Нулевое приближение .

Первое приближение

и т.д.

Окончание вычислений определяется условием

,

где - заданное число.

 

 

5. Метод верхней релаксации

Метод верхней релаксации является обобщением метода Зейделя. В координатной форме метод верхней релаксации имеет следующий вид

,

При этот метод совпадает с методом Зейделя.

Теорема. Если - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод верхней релаксации сходится при .

Окончание вычислений определяется условием

,

где - заданное число.

 

 

6. Метод минимальных невязок

Метод минимальных невязок определен для систем уравнений с симметричной положительно определенной матрицей . Этот метод определяется формулой

, (4)

где параметр выбирается из условия минимума при заданной норме :

,

Теорема. Если - симметричная положительно определенная матрица, тогда метод минимальных невязок сходится.

Окончание вычислений определяется условием

,

где - заданное число.

 

7. Метод скорейшего спуска

Если в формуле (4) итерационный параметр выбирается из условия минимума , где при заданном , то этот метод называется методом скорейшего спуска. Итерационные параметры вычисляются по формуле

, .

Теорема. Пусть А – симметричная положительно определенная матрица, тогда метод скорейшего спуска сходится.

Окончание вычислений определяется условием

,

где - заданное число.

Задачи

Методом итераций решить системы линейных уравнений, предварительно приведя их к виду, удобному для итераций и оценив число необходимых для этого шагов, .

№ 1.

№ 2.

№ 3.

№ 4.

 

Методом Якоби решить системы линейных уравнений, предварительно приведя матрицу системы к матрице с диагональным преобладанием и оценив число необходимых шагов для достижения точности 0,001.

 

№ 5.

№ 6.

 

№ 7.

 

№ 8.

 

 

Методом простой итерации решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001.

№ 9.

№ 10.

№ 11.

№ 12.

 

Методом Зейделя решить системы линейных уравнений, приведя их к виду, удобному для итераций, .

№ 13.

№ 14.

 

 

№ 15.

№ 16.

 

Методом верхней релаксации решить системы линейных уравнений, приведя их к виду, удобному для итераций, .

№ 17.

№ 18.

№ 19.

№ 20.

Решить системы линейных уравнений методом минимальных невязок и методом скорейшего спуска, .

№ 21.

№ 22.

 

№ 23.

№ 24.

 




Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 57 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ЗАКЛЮЧЕНИЕ| Под структурой следует понимать единство разнородных элементов в пределах целого.

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.028 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав