Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Взаимное расположение прямых на плоскости.

A₁/ A₂= B₁/ B₂ =C₁/ C₂ (две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке либо совпадают либо параллельны)

Условия параллельности совпадает с условием коллинеарности векторов: A₁/A₂= B₁/B₂=C₁/C₂

Условия перпендикулярности равносильно условию перпендикулярности их направляющих векторов a₁ a₂ A₁*A₂+ B₁*B₂+ C₁*C₂

40. Разъяснить критерии взаимного расположения прямой и плоскости. Дать определение угла между прямой и плоскостью, расстояния от точки до плоскости, записать соответствующие формулы..

40. Взаимное расположение прямой и плоскости определяется множеством решений линейной системы

Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Пусть плоскость задана уравнением , а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол  = 90⁰ - , где  - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:

В координатной форме:

Пусть плоскость П,задана уравнением Ax+By+Cz+D=0 и дана точка M_o(X_o;Y_o; Z_o). Тогда расстояние p от точки M_o до плоскости П определяется по формуле

41. Дать определение числовой последовательности, изложить ее свойства. Перечислить виды последовательностей. и способы задания числовой последовательности

41. Числовая последовательность – это числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Задать последовательность означает задать правило, по которому каждому номеру из ряда натуральных чисел соответствует одно и только одно действительное число.

Способы задания последовательности:

1) формулой общего члена

2) рекуррентной формулой

3) словесным описанием

4) графически

5) точками на числовой оси

Свойства числовых последовательностей:

1) монотонность

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый её член начиная со второго больше (меньше) предыдущего.

x_n+1>x_n -- возрастающая

x_n-1 <x_n -- убывающая

x_n+1≤x_n -- невозрастающая

x_n-1≥ x_n – неубывающая

2) ограниченность

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Последовательность {Xn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M (m) такое, что выполняется неравенство Xn≤М (Xn≥m).

42. Дать определение арифметической прогрессия и изложить ее свойства

42. Арифметическая прогрессия -Это последовательность, всякий член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом. х_n+1=х_n+d

Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

43..Дать определение геометрической прогрессия и изложить ее свойства

43. Геометрическая - это последовательность, всякий член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число. х_n+1=х_n+q

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

,

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

, при

, при

Если , то при , и

при .

44. Дать понятие предела последовательности. Изложить критерий Коши и Сформулировать теоремы о свойствах предела последовательности.

44. Конечное число а называется пределом числовой последовательности x₁; x₂;...; х_n;... (или просто {х_n}), если для любого > 0 (сколь угодно малого) существует число N = N() такое, что |х_n - а| N.
Обозначение: = а.
Определение 2. Числовая последовательность имеет бесконечный предел, если для любого > 0 (сколь угодно большого) существует число N = N() такое, что | х_n при всех n > N.

Обозначение: = м

Критерий Коши:

Число а называется пределом числовой последовательности {Xn} при n стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа эпсилон найдётся такое натуральное число N, зависящее от эпсилон, что для всех n≥N выполняется неравенство │Xn-а│<E.

Теоремы о пределах последовательностей:

1) Если последовательности {x_n} и {y_n} сходятся и выполняются равенства , , то сходятся также их сумма, разность, произведение и частное.

И верны формулы:

Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела.

2) Если между членами трёх последовательностей {Xn} {Yx} {Zn} выполняется неравентсво Xn≤Zn≤Yn и пределы существуют и равны между собой, то существует и предел последовательности Zn, который равен их общему пределу.

45.. Дать понятие бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, изложить их свойства

45. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, есть бесконечно малая последовательность.

Следствие: произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3) для того, чтобы выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы последовательность можно было представить в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой последовательности.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа М>0 найдется такое натуральное число N, что для всех n начиная с этого номера выполняется условие │Xn│>М.

Свойства бесконечно больших последовательностей:

1) Если {α_n}бесконечно малая последовательность, то { } бесконечно большая последовательность. Если {α_n}бесконечно большая последовательность, то { } бесконечно малая последовательность.

2) Если предел последовательности β_n=∞ и все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, положительны, то последовательность стремится к положительной бесконечности. А если члены отрицательны, то последовательность стремится к отрицательной бесконечности.

46. Дать понятие предела функции в точке. Изложить критерий Гейне и критерий Коши. Сформулировать теоремы о свойствах пределов функций

46. Предел функций в точке:

Предел в точке -числоb назв. пределом функции f в точке x=a, если для любой послед {Xk}, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции {F(k)} сходится к b.

Критерий Гейне: число А называется пределом функции в точке х₀, если для любой последовательности значений аргументов {x_n} сходящейся к х₀, соответствующая последовательность значений функций сходится к А.

Критерий Коши: число А называется пределом функции при х стремящемся к х₀, если для любого эпсилон больше нуля можно указать такое положительное δ(дельта), зависящее от эпсилон, что для любого х удовлетворяющего неравенству 0<│х- х₀│<δ выполняется неравенство │f(x)-А│<Е.

Теоремы о пределах:

Если существуют , , то существует также предел их суммы, разности, произведения и частного.

Следствия:

1) постоянный множитель можно выносить за знак предела

2) предел многочлена в точке равен значению многочлена в этой точке.

3) предел дробно-рациональной функции также равен значению функции в этой точке при условии, что точка принадлежит области определения функции.

Если при вычислении предела и числитель и знаменатель имеют предел равный нулю, то нужно разделить их на двучлен х- х₀ и вычислить предел, при необходимости повторить.

47 Дать понятие предела функции на бесконечности и односторонних пределов. Раскрыть суть вычисления пределов как раскрытия неопределенностей. Записать формулы замечательных пределов..

47. Предел в бесконечности - числоb назв. пределом функции f в точке x→∞, если для бесконечно. большой. Предел (б.б.п) {Xn}, соответствующая последовательность значений функции {F(x_n)} сходится к b

Односторонние пределы:

Если число А₁ (число А₂) есть предел функции при х, стремящемся к а так, что х принимает только значения меньшие (большие) а, то А₁ (А₂) называется левым (правым) пределом функции в точке а.

методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа: ; ; ; ; ; ; .

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Замечательные пределы:

1) =1

2)

-- Эйлеров предел в двух видах

3)

4)

5)

6)

7)

48. Определить понятия бесконечно больших и бесконечно малых функций, эквивалентности бесконечно малых функций. Записать формулы эквивалентных бесконечно малых функций

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого зна