Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры использования

• Найти

Заменяя sin 2 x эквивалентной величиной 2 x, получаем

• Найти

Так как при получим

49. Дать определения непрерывность функции в точке. Изложить свойства функций, непрерывных в точке

49. Непрерывность функции в точке

Функция f непрерывна в точке a, если для любой окрестности V (A) точки A = f (a) существует окрестность U_E (a) такая, что .

Если функция непрерывна в точке a, то говорят, что функция f класса C и пишут: .

На числовой прямой каждой окрестности можно сопоставить симметричную окрестность. Таким образом, определение непрерывности функции можно сформулировать на языке -δ в том виде, как это принято в математическом анализе:

.

Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своего определения. В соответствии с этим наибольший интерес представляет собой тот случай, когда a — предельная точка области определения.

Функция f непрерывна в точке a, предельной для множества E, если для любого числа найдётся такое число δ > 0, что для всех точек условие | x − a | < δ влечет . Или:

.

В этом случае определение непрерывности, фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция f непрерывна в точке a, предельной для множества E, если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

Также можно сказать, что функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю:

50. Дать определение точки разрыва функции. Сформулировать условие непрерывности функции в точке. Изложить классификацию разрывов функции

50, Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

условия непрерывности функции f (x) в точке x = a:

Функция f (x) определена в точке x = a;

Предел существует;

Выполняется равенство.

51. Дать определение непрерывности функции на отрезке. Сформулировать теоремы о функциях, непрерывных на отрезке

51. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b]

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).

52. Дать определение асимптоты графика функции. Назвать их виды, сформулировать условия существования...

52,Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Если функция имеет конечную производную в точке x ₀, то в окрестности U (x ₀) её можно приблизить линейной функцией

Функция f_l называется касательной к f в точке x ₀. Число f '(x ₀) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть s = s (t) — закон прямолинейного движения. Тогда v (t ₀) = s '(t ₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t ₀. Вторая производная a (t ₀) = s ''(t ₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t ₀.

Вообще производная функции y = f (x) в точке x ₀ выражает скорость изменения функции в точке x ₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f (x).

уравнение касательной или

Уравнение нормали

54.. Раскрыть механический (физический) и геометрический смысл производной. Записать и разъяснить уравнения касательной и нормали к кривой

54.Геометрический и физический смысл производной

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Если функция имеет конечную производную в точке x ₀, то в окрестности U (x ₀) её можно приблизить линейной функцией

Функция f_l называется касательной к f в точке x ₀. Число f '(x ₀) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть s = s (t) — закон прямолинейного движения. Тогда v (t ₀) = s '(t ₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t ₀. Вторая производная a (t ₀) = s ''(t ₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t ₀.

Вообще производная функции y = f (x) в точке x ₀ выражает скорость изменения функции в точке x ₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f (x).

уравнение касательной или Уравнение нормали

55. Сформулировать теоремы о дифференцировании сложной и обратной функций и доказать их.

55. Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть
функция x =  (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x =  (t). Тогда сложная функция y = f(  (t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

Теорема 4 (производная обратной функции). Пусть функция
y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)  0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f^{- 1} (y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f^{- 1} (y) и для ее производной справедлива формула

(f^{- 1}(y)) ' = 1 /f' (x).