Читайте также:
|
|
Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция называется возрастающей на интервале , если для любых двух точек из неравенства следует, что ; убывающей на интервале , если из неравенства следует, что ; невозрастающей на интервале , если из неравенства следует, что , и неубывающей на интервале , если из неравенства следует, что .
Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций
Очевидно, что функция возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция ; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.
Графики функций и
Теорема. Пусть функция дифференцируема на интервале и при всех . Тогда возрастает на . Если же при всех , то не убывает на .
Аналогично, если при всех , то убывает на , а если при всех , то не возрастает на .
Пример 1. Рассмотрим функцию . Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси : из следует, что . Однако неверно, что при всех : действительно, производная обращается в 0 при .
Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) -- это нестрогое неравенство .
Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной -- в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции , надо решить относительно неравенство , а чтобы найти интервалы убывания -- решить неравенство .
Пример 2. Рассмотрим функцию . Её производная такова:
Интервал возрастания функции можно найти из неравенства
При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции , так что нужно решать неравенство . Отсюда . Таким образом, функция возрастает на интервале . Нетрудно видеть, что при выполняется обратное неравенство , так что на этом интервале функция убывает.
График функции
Если два интервала возрастания функции примыкают друг к другу, то есть имеют вид и , и функция непрерывна в точке , то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на . То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.
Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |