Студопедия
Главная страница | Контакты | Случайная страница | Спросить на ВикиКак

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Экстремум функции и необходимое условие экстремума.

Читайте также:
  1. A) 3 основных типа функции: определение (задание структуры и описание) данных, обработку данных и управление данными.
  2. A. Цикл с предусловием
  3. B.1 Арифметические функции
  4. B.2 Тригонометрические функции
  5. Cудeбныe функции князя и вeчe
  6. I. Дифференциал функции.
  7. I. Правосознание: понятие, структура, функции и виды.
  8. I. Сущность, формы, функции исторического знания.
  9. II. Правовая культура: понятие, функции и виды.
  10. II. Функции Аппарата Правительства

Напомним определение локального экстремума функции.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локальногомаксимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если .

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .

Теорема:Если точка -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо
1) , либо
2) производная не существует.

Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .

Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

Пример 3. Рассмотрим функцию . Её производная существует при всех и равна . Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением . Это уравнение можно записать в виде ; оно имеет единственный корень : это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде , легко увидеть, что в стационарной точке функция имеет минимум, равный .

 

Пример 4. Рассмотрим функцию . Как и в предыдущем примере, производная существует при всех ; она равна . Все критические точки функции -- стационарные; таких точек три: .

Записав функцию в виде , легко увидеть, что в точках функция имеет минимум, так как в этих точках выражение обращается в 0, и

Если же мы запишем функцию в виде , то убедимся, что точка -- точка локального максимума, поскольку при малых выражение положительно, и

 

 

 


Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 12 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2017 год. (0.012 сек.)