Читайте также:
|
|
Определение. Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при .
Пусть . Тогда любую точку отрезка можно задать как , , а любую точку хорды -- как . Выражение задаёт линейную функцию переменного , график которой на отрезке совпадает с хордой.
То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что
при всех .
Аналогично определяется выпуклость вверх: функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что
при всех .
Графики выпуклой и вогнутой функций
Легко видеть, что функция вогнута на интервале в том и только том случае, когда функция выпукла на .
Пример 5. Рассмотрим функцию . Эта функция выпукла на любом интервале оси . Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики и на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале , то и , и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.
Пример 6. Рассмотрим функцию ; её график -- парабола .
Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале .
Теорема: Пусть на интервале функция имеет вторую производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда при всех , и вогнута тогда и только тогда, когда при всех .
Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.
на интервалах выпуклости и на интервалах вогнутости
Пример 7. Рассмотрим функцию , то есть
Для этой функции
(проверьте отдельно, что производная при существует и равна 0) и
то есть . (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, при всех ; отсюда следует, что функция выпукла на всей оси.
Функция выпукла на всей оси
Пример 8. Рассмотрим функцию . Её производная равна ; вторая производная . Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство , то есть . Решением является объединение лучей: . Значит, на интервалах и функция выпукла.
Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство , то есть . Решением является отрезок . Значит, на интервале функция вогнута.
Интервалы выпуклости и вогнутости функции
Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.
Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |