Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Выпуклость функции.

Читайте также:
  1. I. Дифференциал функции.
  2. III. Выпуклость графика функции
  3. Int nod (int, int); - прототип нашей функции.
  4. Internet, его функции. Web-броузеры. Поиск информации в Internet.
  5. Администрация Президента РФ: структура, функции.
  6. Анатомия и физиология продолговатого мозга: особенности строения, ядра, функции.
  7. Арендная плата. Состав и функции.
  8. Архитектура ОС Unix. Ядро ОС. Основные функции. Принципы взаимодействия с ядром.
  9. Асимптоты графика функции.
  10. Бесконечно большие функции.

Определение. Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при .

Пусть . Тогда любую точку отрезка можно задать как , , а любую точку хорды -- как . Выражение задаёт линейную функцию переменного , график которой на отрезке совпадает с хордой.

То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что

 


при всех .

Аналогично определяется выпуклость вверх: функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что

 


при всех .

Графики выпуклой и вогнутой функций

 

Легко видеть, что функция вогнута на интервале в том и только том случае, когда функция выпукла на .

Пример 5. Рассмотрим функцию . Эта функция выпукла на любом интервале оси . Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики и на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале , то и , и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.

 

 

Пример 6. Рассмотрим функцию ; её график -- парабола .

 

 

Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале .

Теорема: Пусть на интервале функция имеет вторую производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда при всех , и вогнута тогда и только тогда, когда при всех .

Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.

на интервалах выпуклости и на интервалах вогнутости

 

Пример 7. Рассмотрим функцию , то есть

Для этой функции

(проверьте отдельно, что производная при существует и равна 0) и

то есть . (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, при всех ; отсюда следует, что функция выпукла на всей оси.

 

Функция выпукла на всей оси

 

Пример 8. Рассмотрим функцию . Её производная равна ; вторая производная . Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство , то есть . Решением является объединение лучей: . Значит, на интервалах и функция выпукла.

Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство , то есть . Решением является отрезок . Значит, на интервале функция вогнута.

 

Интервалы выпуклости и вогнутости функции

 

Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.




Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав