Читайте также:
|
Пример 1. Построим график функции 
.
1). Функция 
-- многочлен, а у всех многочленов область определения -- вся вещественная ось: 
.
2). Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного 
, и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени . Для функции это не так, значит, не является ни чётной, ни нечётной функцией.
Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от ; в нашем случае это не так, поэтому -- не периодическая функция.
3). Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)
4). Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.
5). Пересечение с осью 
найдём, вычислив значение при 
: имеем 
. Для нахождения пересечений графика с осью 
следует решить уравнение 
. Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,
мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень 
, лежащий на интервале 
, причём ближе к точке 
, чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что 
. Заметим, что меняет знак с 
на 
при переходе через точку .
6). Производная данной функции равна 
. Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство 
. Корни квадратного трёхчлена -- это 
, значит, решением неравенства служит объединение интервалов 
и 
. На каждом из этих интервалов функция возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством 
, то есть 
. Его решением служит интервал 
. На этом интервале функция убывает.
В точке 
возрастание функции сменяется убыванием, значит, 
-- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно
В точке 
убывание функции сменяется возрастанием, значит, 
-- точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно
Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от 
до 
и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.
7). Вторая производная функции равна 
. Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство 
, то есть 
, откуда 
. Значит, функция выпукла на интервале 
. Обратное неравенство 
даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это 
. В точке 
направление выпуклости меняется, следовательно, -- это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно 
.
8). С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции .
График функции 
Пример 2. Исследуем функцию 
и построим её график.
1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции -- вся ось .
2). Функция 
-- нечётная, поскольку при смене знака числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда 
. Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
Периодической функция не является.
3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.
4). Найдём наклонные асимптоты при 
в виде 
. Имеем:
Таким образом, асимптотой как при 
, так и при 
служит прямая 
.
5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: 
, причём -- единственное решение уравнения 
. Значит, график 
пересекает сразу и ось , и ось в начале координат.
Очевидно, что 
при 
и 
при 
.
6). Найдём производную:
Очевидно, что 
при всех 
; единственная точка, в которой 
-- это . Значит, функция возрастает на всей оси , а в стационарной точке имеет горизонтальную касательную.
7). Найдём вторую производную:
Знаменатель этой дроби положителен при всех . Числитель имеет корни и 
, при этом 
на интервалах 
и 
-- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах 
и 
выполняется обратное неравенство 
, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых 
, то есть точки 
, являются точками перегиба.
8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:
График функции
Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе.
1. Укажите необходимые и достаточные признаки максимума и минимума функций.
2. В каких случаях функция не имеет ни максимума, ни минимума?
3. Какие точки графика называют точками перегиба?
4. Сформулируйте правила исследования функций на точки перегиба.
Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 38 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |