Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнения с раздельными и разделяющимися переменными .

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделенными переменными.

Дифференциальное уравнение вида

(2)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления на , оно приводится к дифференциальному уравнению

,

которое имеет вид (1).

Будем считать в (1) и – непрерывными функциями, а функцией независимого переменного . Выражение слева есть дифференциал некоторой функции , зависящей от , а выражение справа – дифференциал некоторой функции , зависящей от Решениями дифференциального равнения (1) будут те и только те дифференцируемые функции , которые при некоторой постоянной удовлетворяют уравнению . При этом следует помнить, что если , то по теореме о неявной функции функция , определяемая неявно уравнением , где – произвольная постоянная, будет дифференцируемой.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Разделим в (2) переменные и придем к уравнению

Решением дифференциального равнения (2) будет функция такая, что , где – произвольная постоянная. Отсюда .

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Очевидно, функция есть решение уравнения (3). Пусть теперь y>0. Разделим в (3) переменные и придем к уравнению

Проинтегрировав (), получим где – произвольная постоянная. Отсюда следует, что , . Таким образом, при каждом фиксированном значении функция , является решением уравнения (3). Других решений это уравнение в полуплоскости не имеет.

Пример 3. Проинтегрировать уравнение

(4)

Решение. В этом уравнении переменная не может принимать значение 0. Поэтому возможно деление на . Разделив в (4) переменные, получим

. ()

Проинтегрировав (), имеем , или . Постоянную запишем в виде .Тогда . Введем постоянную . Тогда общий интеграл уравнения (4) есть

.

В общем интеграле дифференциального уравнения первого порядка одна произвольная постоянная, которую принято обозначать как . По этой причине принято при переходе от одной произвольной постоянной к другой, например, от к от к , индексы не записывать. Следовательно, общий интеграл уравнения (4) имеет вид

(С> 0).

Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

(5)

Решение. Мы ищем решение дифференциального уравнения (5) в окрестности точки , удовлетворяющее условию . Дифференцируемая функция

непрерывна. Поэтому окрестность точки будем считать столь малой, что

(6)

для любого из этой окрестности. Тогда . Разделив на , получим , откуда

Следовательно, с учетом (6), общий интеграл данного уравнения есть

(С>0).

Найдем значение параметра , которому соответствует кривая, удовлетворяющая начальному условию , то есть проходящая через точку (1,2) :

Таким образом, решением будет такое, что .

Пример 6. Проинтегрировать уравнение

Решение.

Разделив на , получим

откуда

, или .