Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Достатня умова збіжності ітераційної послідовності

Читайте также:
  1. Begin IF умова 2 THEN оператор 1 end
  2. Абакумова Дарья группа 11КМ-12
  3. Атестація робочих місць за умовами праці
  4. Б) умовами договору;
  5. В умовах незавершеності політичних трансформацій
  6. Г.Р. Наумова, А.Е. Шикло. Историография истории России. – М.: Академия. – 2009. – С. 144.
  7. Глобальні проблеми сучасності. Проблеми війни і миру у сучасних умовах. Земна цивілізація перед вибором перспектив розвитку людства.
  8. Достатня умова збіжності ітераційної послідовності
  9. Економічна культура юриста та його значення в умовах ринкових відносин.

Позначимо через точне рішення системи (12.2), або, що те ж саме, системи (12.1). З'ясуємо умови, при яких послідовність, яка визначається формулами (12.5), сходиться до в відносно метрик (1.2) – (1.4).

Як відомо з 11.1, збіжність послідовності векторів у всіх трьох розглянутих нами метричних просторах рівносильна покоординатній збіжності. Значить, якщо вдасться побудувати послідовність наближень до на основі однієї з відстаней, то ця послідовність буде сходитися до і щодо інших двох відстаней.

Нехай далі , тобто припускаємо, що відстань між векторами і обчислюється за формулою

Теорема 12.1. Якщо матриця коефіцієнтів при невідомих у правій частині системи (12.2) задовольняє умові

то ця система має єдине рішення , а побудована за формулами (12.5) послідовність (сходиться до при будь-якому початковому наближенні ). Для оцінки похибки наближеного вектора мають місце формули

○ Щоб послатися на теорему Банаха, треба переконатися, що вказане в (12.3) відображення є стискає на при виконанні умови (12.7). Те, що переводить в себе, уже відзначалося. Перевіримо умову Ліпшиця.

Нехай і – два довільних вектора з . Позначимо . Координати цих векторів обчислюються за формулами

Для різниць відповідних координат з урахуванням властивостей модуля отримаємо нерівності

Оскільки при всіх

Тепер замінимо в (12.10) суми на число з (12.7):

В силу справедливості нерівностей (12.11) при всіх маємо

Отже, умова Ліпшиця виконується, а число із співвідношення (12.7) є коефіцієнтом стискання відображення .

Формули (12.8) і (12.9) випливають з (11.7) і (11.8), оскільки відстань в нашому випадку визначено по (12.6). ●

Умова (12.7) означає, що найбільша з сум модулів коефіцієнтів при невідомих у правій частині системи (12.2), обчислених по кожному рядку, повинна бути менше одиниці. Зрозуміло, що це можливо лише тоді, коли всі елементи матриці досить малі за модулем. Наприклад, система (**) з прикладу 12.1 задовольняє умові (12.7), так як для неї

(перевірте!), тому можна бути впевненим, що послідовність векторів з прикладу 12.2 сходиться до рішення. А от елементи матриці системи (***) виявилися настільки великими, що вже її перший рядок дає: .

Існують різні прийоми перетворення системи (12.1) до виду (12.2) з виконанням властивості (12.7). Серед них показані у прикладі 12.1 способи, можливість застосування яких залежить від коефіцієнтів при невідомих вихідної системи.

Для застосування першого способу необхідно, щоб діагональні коефіцієнти системи (12.1) не дорівнювали нулю і були набагато більше по модулю інших коефіцієнтів відповідних рівнянь. У прикладі 12.1 має місце така ситуація.

Коли діагональні коефіцієнти близькі до одиниці, а решта коефіцієнтів малі по модулю, можуть підійти обидва способи. Але при цьому другий краще, оскільки він не пов'язаний з розподілом. Якщо коефіцієнти вихідної системи були точними, то при другому способі такими ж будуть і коефіцієнти наведеної системи. Ділення зазвичай пов'язаний з округленням, значить і з проблемою визначення кількості цифр, які залишаються, необхідної для досягнення потрібної точності наближеного рішення.

Ці способи можна застосовувати як в цілому до системи, так і до окремих рівнянь, переставляючи, при необхідності, рівняння системи.

Приклад 12.3. Нехай потрібно перетворити систему

до наведеного виду з виконанням умови (12.7). Тут поки жодне з попередніх умов застосування зазначених вище способів перетворення не має місця. Переставимо рівняння:

Тепер видно, що до першого рівняння можна застосувати перший спосіб, а до другого – другий (діагональний коефіцієнт 0,7 другого рівняння близький до одиниці і представляється у вигляді різниці ). Після перетворень матимемо

Права частина отриманої системи задає стискуюче відображення на з коефіцієнтом стиснення . ●

Оскільки початковим наближенням може бути будь-який вектор, часто в якості береться вектор вільних членів системи (12.2). Однак для більш швидкої збіжності ітераційного процесу доцільно в якості початкового вектора вибирати наближене рішення системи, знайдене грубої прикидкою.

Обчислюючи послідовно вектори-наближення до точного рішення , на кожному кроці можна знайти їх абсолютну похибку по правим частинам нерівностей (12.8) і (12.9). Наприклад,

Взявши , одержимо наближення відповідних координат , шуканого рішення. Число буде також абсолютною похибкою координат (див. впр. 1.10).

Переписавши нерівності (11.10) з конкретною відстанню (12.6), знайдемо умови закінчення ітераційного процесу при пошуку рішення з точністю до (надаємо зробити це самим).

Зауваження. Раніше передбачалося розглядати лише системи з єдиними рішеннями. В цьому випадку сенс нерівності (12.7) полягає тільки в тому, що вона дає достатню умову збіжності ітераційної послідовності до вирішення системи. Між тим ця умова не єдина, бо вона обумовлена вибором відстані. Побудована за формулами (12.5) послідовність також збігається до точного рішення, причому знову при довільному початковому наближенні з , якщо матриця задовольняє хоча б одній з наведених умов (впр. 12.6).

Вправи

12.3. Опишіть послідовність всіх дій, необхідних для уточнення рішення системи (12.1) методом простої ітерації з заданою точністю .

12.4. Визначте абсолютні похибки знайдених в прикладі 12.2 векторів і .

12.5. Дано дві системи:

Перетворіть їх до виду (12.2) з виконанням умови (12.7).

12.6. * Сформулюйте і доведіть аналоги теореми 12.1 у випадках, коли в якості взяті метричні простори або .

Вказівка. При заміні відстані на або замість умови (12.7) слід брати нерівності

відповідно.

12.7. Достатню умову збіжності ітераційної послідовності для системи (12.2) можна виразити через коефіцієнти при невідомих вихідної системи (12.1). Доведіть, що ітераційний процес сходиться, якщо виконана хоча б одна з нерівностей




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 42 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав