Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Число обусловленности матрицы и СЛАУ. Практическое использование числа обусловленности.

Читайте также:
  1. A) 9/82 E) рациональное число F) положительное число
  2. A) Равенство, содержащее неизвестное число
  3. A. Использование клинического, психолого-педагогического и логопедического исследования.
  4. CASE-технологии и их использование
  5. CASE-технологии и их использование
  6. CTR — показатель эффективности интернет-рекламы, измеряемый как отношение числа нажатий на рекламное объявление (кликов) к числу показов этого объявления.
  7. I. Использование визуальных компонентов
  8. II Разрешение практических ситуаций с использованием возможностей справочных правовых систем
  9. II. Практическое задание №1. Ряды распределений и их характеристики
  10. II. Практическое задание.

Мы решаем систему вида AX = B в предположении, что матрица коэффициентов Аквадратная и невырожденная, в этом случае рассматриваемая СЛАУ имеет единственное решение.

Вырожденной называется матрица, не имеющая обратной.

На практике встречаются матрицы (и соответствующие системы уравнений), «близкие» к вырожденным. Пусть матрица А «почти» вырожденная. Учитывая, что X = A –1 B, можно ожидать, что малые изменения в А и B вызовут очень большие изменения в решении X.

Рассмотрим погрешности решения СЛАУ в этом случае. Пусть «точная» система уравнений имеет вид

А* X* = B*.

Предположим, что вследствие округления и/или неточных данных матрица системы A* и вектор B* заменяются на «приближенные» матрицу А и вектор B. Соответствующая система уравнений запишется как

АX = B.

Погрешности матрицы А, вектора B и ошибку решения будем оценивать:

,

,

.

Здесь нормы векторов и матрицы должны быть согласованы между собой.

Можно показать, что справедливо следующее соотношение:

. (1)

Из (1) следует, что:

1) ошибка решения возрастает с ростом погрешностей и ;

2) ошибка решения в раз больше ошибки исходных данных .

Величина играет важную роль при анализе погрешностей решения СЛАУ, поэтому она получила специальное название – число обусловленности матрицы А:

.

Обусловленность оценивает близость матрицы коэффициентов А к вырожденной.

Число обусловленности cond(A) является количественной оценкой обусловленности.

Отметим, что cond(A)³1. Если cond(A) ³ 103, то говорят, что матрица А плохо обусловлена. Если 1 £ cond(A) £ 100, то матрица считается хорошо обусловленной.

Пусть, например, в плохо обусловленной системе (cond(A)=103) А и B заданы с точностью 0,5 %, т.е. =0,005 и =0,005. Тогда из (16) следует, что ошибка решения в этом случае может достигать = 10, т.е. составляет 1000 %.

 

Причина появления больших погрешностей при решении плохо обусловленных систем хорошо иллюстрируется на примере СЛАУ с двумя неизвестными:

.

а) б) в)

Рисунок. Иллюстрация СЛАУ с двумя неизвестными:

а – хорошо обусловленная; б – плохо обусловленная; в – вырожденная система уравнений.

 

Рисунок (а) соответствует случаю хорошо обусловленной системы уравнений. На рис. (в) представлен случай системы с вырожденной матрицей А (det(A)=0), здесь прямые, отвечающие каждому из уравнений, параллельны друг другу (уравнения линейно зависимы). Пример плохо обусловленной системы уравнений показан на рис. (б) – прямые, соответствующие двум уравнениям, почти параллельны.

Штриховые прямые на рис. (а) и (б) отвечают одному из уравнений, в котором немного изменены коэффициенты aij или правая часть bj. Как видно, в случае хорошо обусловленной СЛАУ малые возмущения в величинах aij и bi приводят к небольшим изменениям решения (точка пересечения прямых смещается незначительно). В случае плохо обусловленной системы уравнений малые изменения в коэффициентах ведут к большим изменениям в решении (точка пересечения прямых смещается сильно).

 




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 30 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав