Читайте также:
|
|
Мы решаем систему вида AX = B в предположении, что матрица коэффициентов А – квадратная и невырожденная, в этом случае рассматриваемая СЛАУ имеет единственное решение.
Вырожденной называется матрица, не имеющая обратной.
На практике встречаются матрицы (и соответствующие системы уравнений), «близкие» к вырожденным. Пусть матрица А «почти» вырожденная. Учитывая, что X = A –1 B, можно ожидать, что малые изменения в А и B вызовут очень большие изменения в решении X.
Рассмотрим погрешности решения СЛАУ в этом случае. Пусть «точная» система уравнений имеет вид
А* X* = B*.
Предположим, что вследствие округления и/или неточных данных матрица системы A* и вектор B* заменяются на «приближенные» матрицу А и вектор B. Соответствующая система уравнений запишется как
АX = B.
Погрешности матрицы А, вектора B и ошибку решения будем оценивать:
,
,
.
Здесь нормы векторов и матрицы должны быть согласованы между собой.
Можно показать, что справедливо следующее соотношение:
. (1)
Из (1) следует, что:
1) ошибка решения возрастает с ростом погрешностей и ;
2) ошибка решения в раз больше ошибки исходных данных .
Величина играет важную роль при анализе погрешностей решения СЛАУ, поэтому она получила специальное название – число обусловленности матрицы А:
.
Обусловленность оценивает близость матрицы коэффициентов А к вырожденной.
Число обусловленности cond(A) является количественной оценкой обусловленности.
Отметим, что cond(A)³1. Если cond(A) ³ 103, то говорят, что матрица А плохо обусловлена. Если 1 £ cond(A) £ 100, то матрица считается хорошо обусловленной.
Пусть, например, в плохо обусловленной системе (cond(A)=103) А и B заданы с точностью 0,5 %, т.е. =0,005 и =0,005. Тогда из (16) следует, что ошибка решения в этом случае может достигать = 10, т.е. составляет 1000 %.
Причина появления больших погрешностей при решении плохо обусловленных систем хорошо иллюстрируется на примере СЛАУ с двумя неизвестными:
.
а) б) в)
Рисунок. Иллюстрация СЛАУ с двумя неизвестными:
а – хорошо обусловленная; б – плохо обусловленная; в – вырожденная система уравнений.
Рисунок (а) соответствует случаю хорошо обусловленной системы уравнений. На рис. (в) представлен случай системы с вырожденной матрицей А (det(A)=0), здесь прямые, отвечающие каждому из уравнений, параллельны друг другу (уравнения линейно зависимы). Пример плохо обусловленной системы уравнений показан на рис. (б) – прямые, соответствующие двум уравнениям, почти параллельны.
Штриховые прямые на рис. (а) и (б) отвечают одному из уравнений, в котором немного изменены коэффициенты aij или правая часть bj. Как видно, в случае хорошо обусловленной СЛАУ малые возмущения в величинах aij и bi приводят к небольшим изменениям решения (точка пересечения прямых смещается незначительно). В случае плохо обусловленной системы уравнений малые изменения в коэффициентах ведут к большим изменениям в решении (точка пересечения прямых смещается сильно).
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 30 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |