Читайте также:
|
|
Лекция 7.
$1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
Пусть Х = (Х 1, Х 2,…, Х n ) – cовокупность (или система) случайных величин.
Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств , , k = 1, 2,..., n.
Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:
1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;
2) ;
3) , где F 1(x), F 2(y) – функции распределения компонент X и Y;
4) .
Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение 1, если сумма выпавших очков четна, и равняется 0, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значения 1 или 0, если произведение выпавших очков четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы.
X Y | Распределение Y | ||
1/2 | ¼ ¼ | 1/4 3/4 | |
Распределение X | 1/2 | ½ |
Функция распределения вектора (X,Y)
Функции распределения компонент: ¨
Если функция распределения F(х, y) системы случайных величин (X,Y) дифференцируема, то ее вторую смешанную частную производную называют плотностью распределения , вектор (X, Y) в этом случае называют непрерывным случайным вектором. Отсюда, .
Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора вытекают из свойств функции распределения:
1) ;
2) .
3) т.к. , то .
Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:
.
Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью
(распределение Коши).
Найдем функцию распределения F (x, y):
Определим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат R.
Плотность компоненты X
, .¨
$2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
Моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y)называется математическое ожидание произведения
.
Для дискретных случайных величин
если ряд сходится абсолютно.
Для непрерывных случайных величин , где
- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.
Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).¨
Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения
.
Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. ¨
Момент порядка (1,1) называется ковариацией случайных величин X и Y.
Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле
Доказательство:
§
Утверждение 2. Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна
.
Доказательство.
§
Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.
Пример 5. Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.
Z 0 1 MX = 1/2, DX =1/4, MY =3/4, DY =3/16, MZ = M(X*Y)=1/4;
Р 3/4 1/4 cov(X,Y)= M(XY)- MX * MY = -1/8;
corr(X,Y) = cov (X,Y)/(s x s y) = –1/(). ¨
Дисперсия суммы случайных величин X и Y =
= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16.
$3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ.
Нормальное распределение на плоскости – это нормальное распределение для системы двух случайных величин X и Y.
Нормальное распределение на плоскости задается плотностью
.
Распределение зависит от пяти параметров: . Выясним их смысл. Для этого найдем плотности компонент X и Y:
;
Cлучайные величины X и Y имеют нормальное распределение c параметрами и cоответственно. Cледовательно, .
Посчитаем ковариацию компонент X и Y.
Отсюда следует, что параметр r совпадает с коэффициентом корреляции X и Y:
.
Геометрически плотность двумерного нормального закона представляет собой “холм”, вершина которого находится над точкой (). В сечении поверхности плотности плоскостями, параллельными оси , получаются кривые, подобные гауссовым кривым. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости XOY, получаются эллипсы. Уравнения эллипсов: . Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания, а оси этих эллипсов (общие для всех эллипсов) называются главными осями рассеивания (h и x).
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 20 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Процесс управленческого контроля | | | Келтірілген өндіріс факторының классификациясы осы берілген күйде қозғалыссыз, мәңгі қатып қалған болып табылмайды. |