Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Глава 3. CИCТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Читайте также:
  1. V2: Системы случайных величин
  2. Виды случайных событий
  3. Виды случайных событий и их вероятности.
  4. Виды средних величин. Методика расчета и области применения средних величин
  5. Виды средних величин. Обоснование выбора средней
  6. ВОПРОС N 15. Чему равна сумма случайных событий, образующих полную группу?
  7. Генерация случайных величин
  8. Генерация случайных чисел
  9. Задание 5. Законы распределения, функции распределения и числовые характеристики дискретных случайных величин

Лекция 7.

 

$1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть Х = (Х 1, Х 2,…, Х n ) – cовокупность (или система) случайных величин.

Функцией распределения системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения неравенств , , k = 1, 2,..., n.

Свойства функции распределения аналогичны свойствам функции распределения одномерной случайной величины. Например, для системы двух случайных величин X и Y:

1) F(х, у) – неубывающая функция своих аргументов;

2) ;

3) , где F 1(x), F 2(y) – функции распределения компонент X и Y;

4) .

Пример 1. Бросают две игральные кости. Cлучайная величина X принимает значение 1, если сумма выпавших очков четна, и равняется 0, если сумма нечетна. Cлучайная величина Y принимает значения 1 или 0, если произведение выпавших очков четно или нечетно. Совместное распределение (X,Y) можно задать в виде таблицы.

X Y     Распределение Y
  1/2 ¼ ¼ 1/4 3/4
Распределение X 1/2 ½  

Функция распределения вектора (X,Y)

Функции распределения компонент: ¨

Если функция распределения F(х, y) системы случайных величин (X,Y) дифференцируема, то ее вторую смешанную частную производную называют плотностью распределения , вектор (X, Y) в этом случае называют непрерывным случайным вектором. Отсюда, .

Cвойства плотности распределения непрерывного случайного вектора вытекают из свойств функции распределения:

1) ;

2) .

3) т.к. , то .

Замечание. Чтобы найти вероятность попадания непрерывного двумерного случайного вектора в область D, надо аналогично одномерному случаю проинтегрировать двумерную плотность распределения по области D:

.

Пример 2. Распределение двумерной случайной величины задается плотностью

(распределение Коши).

Найдем функцию распределения F (x, y):

Определим вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат R.

Плотность компоненты X

,

 

$2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y)называется математическое ожидание произведения

.

Для дискретных случайных величин

если ряд сходится абсолютно.

Для непрерывных случайных величин , где

- плотность распределения системы (X, Y), если интеграл существует.

Пример 3. Моментом порядка (1, 0) является математическое ожидание случайной величины X, а моментом порядка (0, 1) – математическое ожидание случайной величины Y. Cовокупность (MX, MY) геометрически представляет собой координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание вектора (X, Y).¨

Центральным моментом порядка (k, s) cистемы (X, Y) называется математическое ожидание произведения

.

Пример 4. Центральным моментом порядка (2, 0) является дисперсия X, а центральным моментом порядка (0, 2) – дисперсия Y. DX и DY характеризуют рассеивание вектора (X, Y) в направлении осей ОХ и ОY. ¨

Момент порядка (1,1) называется ковариацией случайных величин X и Y.

Утверждение 1. Ковариацию можно считать по формуле

Доказательство:

§

Утверждение 2. Дисперсия суммы случайных величин X и Y равна

.

Доказательство.

§

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется , где – средние квадратические отклонения случайных величин X и Y.

Пример 5. Посчитаем ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y из примера 1. Введем случайную величину Z=X*Y.

Z 0 1 MX = 1/2, DX =1/4, MY =3/4, DY =3/16, MZ = M(X*Y)=1/4;

Р 3/4 1/4 cov(X,Y)= M(XY)- MX * MY = -1/8;

corr(X,Y) = cov (X,Y)/(s x s y) = –1/(). ¨

Дисперсия суммы случайных величин X и Y =

= 1/4+3/16+2*(-1/8) = 3/16.

 

$3. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПЛОСКОСТИ.

Нормальное распределение на плоскости – это нормальное распределение для системы двух случайных величин X и Y.

Нормальное распределение на плоскости задается плотностью

.

Распределение зависит от пяти параметров: . Выясним их смысл. Для этого найдем плотности компонент X и Y:

;

Cлучайные величины X и Y имеют нормальное распределение c параметрами и cоответственно. Cледовательно, .

Посчитаем ковариацию компонент X и Y.

Отсюда следует, что параметр r совпадает с коэффициентом корреляции X и Y:

.

Геометрически плотность двумерного нормального закона представляет собой “холм”, вершина которого находится над точкой (). В сечении поверхности плотности плоскостями, параллельными оси , получаются кривые, подобные гауссовым кривым. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости XOY, получаются эллипсы. Уравнения эллипсов: . Эти эллипсы называются эллипсами рассеивания, а оси этих эллипсов (общие для всех эллипсов) называются главными осями рассеивания (h и x).




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 20 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Процесс управленческого контроля| Келтірілген өндіріс факторының классификациясы осы берілген күйде қозғалыссыз, мәңгі қатып қалған болып табылмайды.

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав