Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Постановка задачи. Глава 9. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Читайте также:
  1. E) задачи на вычисление боковой поверхности геометрических фигур
  2. E)задачина вычисление боковой поверхности геометрических фигур 1 страница
  3. E)задачина вычисление боковой поверхности геометрических фигур 2 страница
  4. E)задачина вычисление боковой поверхности геометрических фигур 3 страница
  5. E)задачина вычисление боковой поверхности геометрических фигур 4 страница
  6. I Задачи научно-исследовательской деятельности учащихся.
  7. I Цели и задачи изучения дисциплины
  8. I этап. Постановка задачи
  9. I. Диагностика: понятие, цели, задачи, требования, параметры
  10. I. Задачи гражданской обороны объекта народного хозяйства

Глава 9. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Постановка задачи

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

  (1)

Краевую задачу для уравнения (1) можно сформулировать следующим образом: найти функцию y=y(x), которая внутри отрезка [a,b] удовлетворяет уравнению (1), а на концах отрезка краевым условиям:

  (2)

Рассмотрим случай, когда уравнение (1) и краевые условия (2) линейны. Такая краевая задача называется линейной краевой задачей. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия записываются так:

  (3)
  (4)

где p(x), q(x), f(x) – известные непрерывные на [a,b] функции, – заданные постоянные, причем и .

Если А=В=0, то краевые условия (4) называют однородными.

Методы приближенного решения краевых задач можно разбить на две группы:

- разностные методы

- аналитические методы.

 

9.2. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с двухточечными линейными краевыми условиями , (функции p(x), q(x), f(x) –непрерывны на [a,b], и ).

Одним из наиболее простых методов решения краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений.

Для этого разобьем основной отрезок [a,b] на n равных частей длины h, где . Получим точки разбиения: .

Обозначим значения искомой функции y=y(x) и ее производных в точках деления xi через . Аналогично введем обозначения .

Заменим производные функции во внутренних точках xi отрезка [a,b] симметричными конечно-разностными отношениями:

  (5)

В концевых точках х0 и xn=b, чтобы не выходить за пределы отрезка [a;b], сделаем другую замену:

  (6)

Используя формулы (5), дифференциальное уравнение (1) во внутренних точках xi, где i=1,2,…, n-1, приближенно можно заменить линейной системой уравнений:

  (7)

Кроме того, в силу формул (6) краевые условия (2) дополнительно дают еще два уравнения:

  (8)

Таким образом получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющее собой значения искомой функций y=y(x) в точках .

Решив эту систему, если возможно, получим таблицу значений искомой функции y.

 


Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 5 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2018 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав