Читайте также:
|
Задача 1. Какие из следующих отображений являются гомоморфизмами указанных колец. Выяснить вид гомоморфизма.
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
Решение. а) В задаче даны два кольца: 
и 
. В первом кольце 
– операции сложения и умножения матриц второго порядка с действительными элементами, во втором кольце – сложение и умножение действительных чисел. Отображением 
каждой матрице второго порядка ставится в соответствии элемент, стоящий в первой строке и в первом столбце. Выясним, будет ли это отображение гомоморфизмом, используя соответствующее определение. Для этого проверим, сохраняет ли это отображение операции 
и 
первого кольца, т.е. выполняются ли условия:
1) образ суммы равен сумме образов, т.е. для 
, 
;
2)образ произведения равен произведению образов, т.е. для 
.
1) 
. Находим последовательно:
Видим, что равенство 1) выполняется.
2) 
.
. Значит, 
, т.е. условие 2) не выполняется и, следовательно, не является гомоморфизмом.
б) анализ условия проводится аналогично предыдущей задаче. Проверим условия 1), 2).
1) 
.
.
Т.к. «+» действительных чисел коммутативно, то 
.
2) 
.
Сравнивая правые части этих равенств, видим, что 
.
Вывод: – гомоморфизм данных колец.
Выясним его вид. Для этого определим, будет ли – инъективным, сюръективным, биективным. Проверим инъективность по определению: 
. 
; 
; 
, но это не означает, что 
. В доказательство этого приведем контрпример: 3 + 4 = 2 + 5, но 3 
2 и 4 5. Следовательно, – не инъективно, а значит, и не биективно. Проверим сюръективность. Для 
, принадлежащая первому кольцу, что 
. В самом деле, любое действительное число 
можно хотя бы одним способом представить в виде суммы, т.е. 
и тогда можно составить матрицу 
такую, что . Следовательно, – сюръективно и данный гомоморфизм есть эпиморфизм.
в) 1) 
.
(*)
(**). Сравнивая (*) и (**), видим, что операция сложения сохраняется.
2) 
.
. Видим, что 
.
Следовательно, – не гомоморфизм.
г) Первое кольцо , второе 
, где «×», «+» заданы так:
.
Отображение 
каждому действительному числу ставит пару, в которой первый элемент 0, а второй – данное действительное число.
1) 
.
Первое условие выполнено.
2) 
. Второе условие выполнено.
Следовательно, – гомоморфизм.
Выясним его вид:
а) инъективность: 
, т.к. 
, то 
, т.е. 
. Значит, – инъективно.
б) сюръективность: для проверки воспользуемся следующим фактом: – сюръективно, если образ гомоморфизма совпадает со вторым кольцом. В нашем случае: 
. Найдем образ гомоморфизма. По заданию отображения , 
, т.е. в образ гомоморфизма входят только те пары, у которых первый элемент 0, отсюда ясно, что 
, и это значит, что – не сюръективно. Следовательно, – мономорфизм.
т вид 
. Задача решена полностью.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 32 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |