Читайте также:
|
|
Задача 1. Какие из следующих отображений являются гомоморфизмами указанных колец. Выяснить вид гомоморфизма.
а) .
б) .
в) .
г) .
Решение. а) В задаче даны два кольца: и . В первом кольце – операции сложения и умножения матриц второго порядка с действительными элементами, во втором кольце – сложение и умножение действительных чисел. Отображением каждой матрице второго порядка ставится в соответствии элемент, стоящий в первой строке и в первом столбце. Выясним, будет ли это отображение гомоморфизмом, используя соответствующее определение. Для этого проверим, сохраняет ли это отображение операции и первого кольца, т.е. выполняются ли условия:
1) образ суммы равен сумме образов, т.е. для , ;
2)образ произведения равен произведению образов, т.е. для .
1) . Находим последовательно:
Видим, что равенство 1) выполняется.
2)
.
. Значит, , т.е. условие 2) не выполняется и, следовательно, не является гомоморфизмом.
б) анализ условия проводится аналогично предыдущей задаче. Проверим условия 1), 2).
1)
.
.
Т.к. «+» действительных чисел коммутативно, то .
2) .
Сравнивая правые части этих равенств, видим, что .
Вывод: – гомоморфизм данных колец.
Выясним его вид. Для этого определим, будет ли – инъективным, сюръективным, биективным. Проверим инъективность по определению: . ; ; , но это не означает, что . В доказательство этого приведем контрпример: 3 + 4 = 2 + 5, но 3 2 и 4 5. Следовательно, – не инъективно, а значит, и не биективно. Проверим сюръективность. Для , принадлежащая первому кольцу, что . В самом деле, любое действительное число можно хотя бы одним способом представить в виде суммы, т.е. и тогда можно составить матрицу такую, что . Следовательно, – сюръективно и данный гомоморфизм есть эпиморфизм.
в) 1) .
(*)
(**). Сравнивая (*) и (**), видим, что операция сложения сохраняется.
2) .
. Видим, что .
Следовательно, – не гомоморфизм.
г) Первое кольцо , второе , где «×», «+» заданы так:
.
Отображение каждому действительному числу ставит пару, в которой первый элемент 0, а второй – данное действительное число.
1) .
Первое условие выполнено.
2) . Второе условие выполнено.
Следовательно, – гомоморфизм.
Выясним его вид:
а) инъективность: , т.к. , то , т.е. . Значит, – инъективно.
б) сюръективность: для проверки воспользуемся следующим фактом: – сюръективно, если образ гомоморфизма совпадает со вторым кольцом. В нашем случае: . Найдем образ гомоморфизма. По заданию отображения , , т.е. в образ гомоморфизма входят только те пары, у которых первый элемент 0, отсюда ясно, что , и это значит, что – не сюръективно. Следовательно, – мономорфизм.
т вид . Задача решена полностью.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 32 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |