Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод итераций решения нелинейного уравнения.

Суть метода простых итераций в принципе совпадает с методом, изложенным для решения систем линейных алгебраических уравнений. Для нелинейного уравнения метод основан на переходе от уравнения

f(x) = 0 (2)

К эквивалентному уравнению x = φ(x). Этот переход можно осуществить разными способами, в зависимости от вида f(x). Например, можно положить

φ(x) = x + bf(x), (3)

где b = const, при этом корни исходного уравнения (2) не изменятся.

Если известно начальное приближение к корню x₀, то новое приближение x₁ = φx(₀), т.е. общая схема итерационного процесса:

x_k+1 = φ(x_k). (4)

Наиболее простой критерий окончания процесса .

Критерий сходимости метода простых итераций: если вблизи корня | φ ^/(x) | < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, то итерации сходятся при любом начальном приближении. Исследуем выбор константы b в функции (3) с точки зрения обеспечения максимальной скорости сходимости. В соответствии с критерием сходимости наибольшая скорость сходимости обеспечивается при | φ ^/(x) | = 0. При этом, исходя из (3), b = –1/ f ^/(x), и итерационная формула (4) переходит в

,

т.е. в формулу метода Ньютона (1). Таким образом, метод Ньютона является частным случаем метода простых итераций, обеспечивающим самую высокую скорость сходимости из всех возможных вариантов выбора функции φ(x).