Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Коды Хэмминга

Коды Хэмминга — это простой класс блочных кодов, которые имеют следующую структуру:

где т = 2,3, .... Минимальное расстояние этих кодов равно 3, поэтому, согласно уравнениям (6.44) и (6.47), они способны исправлять все однобитовые ошибки или определять все ошибочные комбинации из двух или менее ошибок в блоке. Декодирование с помощью синдромов особенно хорошо подходит к кодам Хэмминга. Фактически синдром можно превратить в двоичный указатель местоположения ошибки. Хотя коды Хэмминга не являются слишком мощными, они принадлежат к очень ограниченному классу блочных кодов, называемых совершенным.

Если предположить, что используется жесткое декодирование, вероятность появления битовой ошибки можно записать

Здесь р — вероятность ошибочного приема канального символа (вероятность перехода в двоичном симметричном канале).

На рис. 6.21 приведен график зависимости вероятности ошибки в декодированном бите от вероятности ошибки в канальном символе, на котором сравниваются разные блочные коды. Для кодов Хэмминга на графике взяты значения т = 3, 4 и 5 или (n, k) = (7,4), (15,11), (31,26). Для описания гауссового канала с использованием когерентной демодуляции сигналов BPSK, вероятность ошибки в канальном символе можно выразить через

Рис. 6.21. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности ошибки в канальном символе для нескольких блочных кодов

Здесь - отношение энергии кодового символа к спектральной плотности мощности шума, a Q(X) определено в уравнении (3.43). Чтобы связать с энергией бита информации на единицу плотности спектрального шума , используем следующее выражение.

Для кодов Хэмминга уравнение (6.75) принимает следующий вид.

Объединяя уравнения (6.73), (6.74) и (6.76), при когерентной демодуляции сигналов BPSK в гауссовом канале можно выразить как функцию . Результаты для различных типов блочных кодов отображены на рис. 6.22. Для кодов Хэмминга взяты следующие значения (n, k) = (7,4), (15,11), (31,26).

Рис. 6.22. Зависимость от при когерентной демодуляции сигналов BPSK в гауссовом канале для нескольких блочных кодов

Пример 6.11. Вероятность ошибки для модулированных и кодированных сигналов. Кодированный сигнал с модуляцией BFSK передается по гауссовому каналу. Сигнал некогерентно обнаруживается и жестко декодируется. Найдите вероятность ошибки в декодированном бите, если кодирование осуществляется блочным кодом Хэмминга (7,4), а принятое: значение равно 20.

Решение

Сначала находим .

Затем для кодированного некогерентного сигнала BFSK мы можем связать вероятность ошибки в канальном символе с

Подставляя этот результат в уравнение (6.73), получаем следующее значение вероятности ошибки в декодированном бите.

≈