Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Определение 5.6. Произведением k a вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный | k || a |, и направление, совпадающее с направлением а при k >0 и противоположное а при k<0.

Свойства умножения вектора на число:

Свойство 1. k( a + b ) = k a + k b.

Свойство 2. (k + m) a = k a + m a.

Свойство 3. k(m a) = (km) a.

Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = k a.

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается . Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице). Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и . Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор. Обозначим через A1 и B1 проекции на ось l соответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2 на оси l. Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось. Проекцию вектора на ось l будем обозначать . Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x2 > x1, и проекция x2 – x1 > 0; если этот угол тупой, то x2 < x1 и проекция x2 – x1 < 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x2 = x1 и x2 – x1 = 0. Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A1B1, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр. Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор. Рассмотрим некоторые основные свойства проекций. Проеция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью: Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна нулю, то обозначим . Если угол φ острый, то из прямоугольного получаем . Откуда или Если угол φ тупой, то x < 0, . Тогда из или . Т.е. . Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: . Доказательство. Пусть . Обозначим через x1, x2 и x3 координаты проекций A1, B1, C1 на ось l точек A, B и C. Тогда . Но . Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число: . Доказательство. Пусть угол между вектором и осью . Если λ > 0, то вектор имеет то же направление, что и , и составляет с осью такой же угол . При λ > 0 . Если же λ < 0, то и имеют противоположные направления и вектор составляет с осью угол π – φ и . Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ