Студопедия
Главная страница | Контакты | Случайная страница | Спросить на ВикиКак

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Часть вторая. Разностные (рекуррентные) уравнения.

Читайте также:
  1. I ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
  2. I часть «Механика».
  3. I часть. РОССИЯ
  4. I. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
  5. I. Вводная часть
  6. I. ПАСПОРТНАЯ ЧАСТЬ
  7. I. Паспортная часть.
  8. I. Паспортная часть.
  9. I. Паспортная часть.
  10. I. Практическая часть.

Под перестройкой понимается попытка «сверху» реформировать экономическую и полити­ческую систему советского общества. Связана с именем её инициатора М.С.Горбачева Хронологичес­кие рамки перестройки охватывают 1985—1991 гг. Причины перестройки — ставшие очевидными к началу 80-х гг. отставание СССР от ведущих стран мира по темпам экономического развития и застойные явления в социально-поли­тической и духовной сферах советского общества. Темпы экономического роста в СССР стали па­дать с середины 70-х гг. Общество все острее осоз­навало необходимость перемен. Уже при Ю.В.Анд­ропове в 1982—1984 гг. была начата борьба с нега­тивными явлениями в обществе — коррупцией, злоупотреблением властью, потерями рабочего вре­мени. Была разработана программа экономических преобразований, однако смерть Андропова не позво­лила ее реализовать. Новым Генеральным секретарем ЦК КПСС стал М.С.Горбачев. Первыми шагами на пути по­литических преобразований стало омоложение кад­ров. Появились элементы демократии: альтернативные выборы партийного руководства, коллективизм в принятии решений. Был взят курс на строительство «социалистического правового государства». Был создан новый законодательный орган — Съезд народных депута­тов СССР. Выборы стали проводиться на альтернативной основе. Была отменена статья Конституции о руково­дящей роли КПСС в обществе. Начался процесс ле­гального формирования многопартийной системы в стране. Произошёл распад СССР. В экономике: расширение самостоятельности предприятий, постепенное возрождение частной собственности, кооперативное движение. Экономические реформы привели к резкому сокращению объёмов производства, росту инфляции, к резкому падению уровня жизни.

Для перестройки характерно развитие гласности, становление многопартийности, повышение роли церкви. Во внешней политике: нормализация отношений с Западом, вывод советских войск из Афганистана.

 

Содержание программы учебного курса

«Дифференциальные и разностные уравнения»

для направления 521600 - Экономика,

специальность 351400. (вторая ступень высшего профессионального образования).

I. Программа соответствует требованиям Государственного
образовательного стандарта по направлению 521600
-
Экономика, утвержденного Министерством образования РФ
25.03.2000 г., номер гос. регистрации 433 гумУбак.

II. Содержание программы.

Часть первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Определение решения уравнения. Интегральная кривая. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной. Метод изоклин. Задача Коши. Уравнение, правая часть которого не содержит искомой функции. Общее решение, частное решение. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особое решение. Уравнение в дифференциалах.

Литература:

1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.-М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.

2. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ и дифференциальны уравнения.-М.-Изд. центр «Академия», 2010.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —
М. Наука, 1961.

 

Глава II. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах.

Уравнение в полных дифференциалах. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное уравнение. Линейное уравнение, метод вариации постоянной. Уравнения Бернулли, метод Бернулли. Метод введения параметра. Примеры дифференциальных уравнений, описывающих динамику некоторых экономических, социальных и биологических систем.

Литература:

1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.-М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.

2. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ и дифференциальны уравнения.-М.-Изд. центр «Академия», 2010.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М. :Наука, 1961.

4. Chiang Alpha С. Fundamental methods of mathematical economics/
Mc.Grow-Hill, 1984.

5. Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию.-М. Изд-во ГУВШЭ, 2000.

6. Тарасевич Д.С., Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И.

7. Макроэкономика. Учебник. С.Пб.:Изд-во Санкт-Петербургского университета экономики и финансов.1999.

Глава III. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Нормальная система уравнений n -ого порядка, её решение, интегральная кривая. Фазовое пространство, точки равновесия. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Автономная система уравнений. Положение равновесия. Свойства фазовых и интегральных кривых автономной системы уравнений.

Система линейных уравнений с переменными коэффициентами.Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Однородная система линейных уравнений. Линейное пространство ее решений. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского. Система линейных неоднородных уравнений. Структура множества решений. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных. Метод исключения

 

Литература:

1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. -М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.

Загрузка...

2. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ и дифференциальны уравнения.-М.-Изд. центр «Академия», 2010.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М. :Наука, 1961.

Глава IV. Уравнения n- ого порядка.

Понятие уравнения n -ого порядка. Решение уравнения, интегральная кривая. Некоторые уравнения допускающие понижение порядка. Уравнение n-ого порядка, разрешенное относительно старшей производной. Сведение его к системе уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейные уравнения n -ого порядка с переменными коэффициентами. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейное однородное уравнение. Линейное пространство его решений. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского. Линейное неоднородное уравнение n -ого порядка с переменными коэффициентами. Структура множества решений. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных.

Литература:

1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.-М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.

2. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ и дифференциальны уравнения.-М.-Изд. центр «Академия», 2010.

3. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Том З.Дифференциальныеуравнения в примерах и задачах. -М. : Изд-во «УРСС», 1998.

Глава V. Комплексные числа.

Определение. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи. Сложение, умножение и деление комплексных чисел. Формула Эйлера. Корни n-ой степени комплексного числа. Вещественные и комплексно сопряженные корни многочлена с вещественными коэффициентами. Теорема Гаусса

Литература:

1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ и дифференциальны уравнения.-М.-Изд. центр «Академия», 2010.

Глава VI, Методы решения линейных дифференциальных уравнений и систем линейных уравнений с постоянными вещественными коэффици-ентами.

Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения n-ого порядка по корням характеристического уравнения (метод Эйлера). Построение частного решения линейного неоднородного уравнения в случае, когда правая часть является квазимногочленом.

Построение фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений по корням характеристического уравнения (метод Эйлера). Редукция системы n линейных дифференциальных уравнений к одному линейному дифференциальному уравнению n-ого порядка (на примере п=2,3) относительно какой-либо одной переменной.

Литература:

1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений ивариационного исчисления.-М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.

2. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С. Математический анализ и дифференциальны уравнения.-М.-Изд. центр «Академия», 2010.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -
М. -.Наука, 1961.

Глава VII. Устойчивость решений дифференциальных уравнений.

Основные понятия и определения. Критерий устойчивости решений линейных уравнений и систем линейных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами. Классификация положений равновесия для линейных автономных систем на плоскости Исследование устойчивости решений нелинейных автономных систем на плоскости вблизи положений равновесия по линейному приближению. Приложения к исследованию экономических моделей.

Литература:

1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и

вариационного исчисления.-М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.

2. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ и дифференциальны уравнения.-М.-Изд. центр «Академия», 2010.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -
М. :Наука, 1961.

4. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное
пособие для вузов. -М.: Наука, 1984.

Часть вторая. Разностные (рекуррентные) уравнения.

Глава I. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка.

Разностное уравнение n-ого порядка в нормальной форме. Определение решения уравнения. Задача Коши. Линейное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами. Метод вариации постоянной. Примеры: арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, рост вклада в банке (простые и сложные проценты).

Литература:

1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ и дифференциальны уравнения.-М.-Изд. центр «Академия», 2010.

2. Гельфонд В.И. Исчисление конечных разностей.-М.: ГИФМЛ, 1959.

3. Романко В.К. Разностные уравнения.-М.:Лаборатория базовых знаний, 2000.

Глава II. Линейные разностные (рекуррентные) уравнения и системы с постоянными вещественными коэффициентами.

 

Линейное однородное разностное уравнение n-ого порядка. Линейное пространство его решений. Фундаментальная система решений. Общее решение однородного уравнения. Построение фундаментальной системы решений линейного разностного уравнения с постоянными вещественными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Частное решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть - квазимногочлен (резонансный и нерезонансный случаи).

Линейная однородная система разностных уравнений. Линейное пространство её решений. Фундаментальная система решений. Общее решение. Построение фундаментальной системы решений линейной однородной системы разностных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами. Структура общего решения неоднородной системы линейных разностных уравнений. Решение систем методом исключения.

Литература:

1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ и дифференциальны уравнения.-М.-Изд. центр «Академия», 2010.

2. Гельфонд В.И. Исчисление конечных разно стей.-М.: ГИФМЛ, 1959.

3. Романко В.К. Разностные уравнения.-М.:Лаборатория базовых знаний, 2000.

Глава III. Устойчивость положения равновесия разностных уравнений и систем разностных уравнений.

Определение устойчивости решений разностных уравнений и систем. Положение равновесия. Критерий устойчивости решений линейных разностных уравнений и систем с постоянными вещественными коэффициентами. Достаточное условие существования устойчивого положения равновесия нелинейного автономного уравнения первого порядка. Примеры разностных уравнений первого порядка в экономике: паутинообразная модель, динамика дохода в упрощённой модели Кейнса. Примеры разностных уравнений второго порядка в экономике: паутинообразная модель с обучением, модель делового цикла Самуэльсона - Хикса (мультипликатор - акселлератор).

Литература:

1. Бурмистрова Е Б., Лобанов С.Г. Математический анализ и дифференциальны уравнения.-М.-Изд. центр «Академия», 2010.

2. Романко В.К. Разностные уравнения.-М.:Лаборатория базовых знаний, 2000.

3. Chiang Alpha С. Fundamental methods of mathematical economics. Mc.Grow-Hill, 1984.

4. Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию . -М.:Изд-во ГУВШЭ, 2000.


Типовые вопросы и задачи для контрольных, зачетной и экзаменационной работ:

1.Решите задачу Коши и укажите промежуток наибольшей длины, на котором решение этой задачи определено.

2.Решите задачу Коши и вычислите для

решения этой задачи значение .

3.Найдите решение уравнения , удовлетворяющее условию . Вычислите для этого решения значение .

4.Вычислите действительную часть числа .

5.Найдите все решения уравнения .

6.Решите задачу Коши и вычислите для решения этой задачи значение .

7.Для последовательности , удовлетворяющей рекуррентному уравнению и условию , вычислите величину .

8.Укажите все возможные значения дроби для всех тех решений рекуррентного уравнения , для которых она определена.

9.Решите систему уравнений

10.Решите неоднородную систему уравнений

и изобразите фазовый портрет однородной системы.

11.Найдите все значения параметра , при которых нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво.

12.Укажите все возможные значения дроби для всех тех решений уравнения , для которых она определена.

13.Решите уравнение .

14.Решите уравнение .

15.Решите уравнение

16.Решите одну из систем уравнений

или

17.Решите уравнение .

18.Решите уравнение .

19.Решите задачу Коши .

20.Решите задачу Коши .

21.Решите уравнение .

22.Решите уравнение .

23.Решите уравнение .

24.Найдите положения равновесия системы уравнений

определите их характер и начертите фазовые траектории соответствующих линеаризованных систем .


Дата добавления: 2014-12-15; просмотров: 15 | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Гражд война и интервенция| Работа с коллекциями

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2017 год. (0.197 сек.)