Читайте также:
|
Теорема 1 (теорема Ферма): Пусть функция f (x) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х 0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х 0 существует производная, то она равна нулю, то есть f ¢(х 0)=0.
Геометрический смысл: если в точке х 0 дифференцируемая функция f (x) имеет наибольшее (наименьшее) значение, то в точке (х 0; f (х 0)) касательная к графику функции f (x) параллельна оси Ох.
Теорема не верна если функцию f (x) рассматривать на отрезке [ а, b ].
Теорема 2 (теорема Ролля): Пусть на отрезке [ а, b ]определена функция f (x), причём:
f (x) непрерывна на [ а, b ];
f (x) дифференцируема на (а, b);
f (а)= f (b).
Тогда существует точка с Î(а, b), в которой f ¢(c)=0.
Геометрический смысл: у графика непрерывной на отрезке [ а, b ]и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах этого отрезка равные значения, существует точка (с; f (с)), в которой касательная параллельна оси Ох.
Теорема 3 (теорема Лагранжа): Пусть на отрезке [ а, b ]определена функция f (x), причем:
f (x) непрерывна на [ а, b ];
f (x) дифференцируема на (а, b);
f (а)¹ f (b);
Тогда существует точка с Î(а, b) такая, что справедлива формула
Геометрический смысл: у графика непрерывной на отрезке [ а, b ]и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах этого отрезка разные значения, существует точка (с; f (с)), в которой касательная к графику параллельна секущей, проходящей через точки (а; f (а)) и (b; f (b)). Таких точек может быть и несколько, но по крайней мере одна всегда существует.
Равенство 
называется формулой Лагранжа.
Теорема 4 (теорема Коши): Пусть функции f (x) и g (х) определены на отрезке [ а, b ], причем:
f (x) и g (х) непрерывны на [ а, b ];
f (x) и g (х) дифференцируемы на (а, b);
g ¢(х)¹0;
Тогда существует точка с Î(а, b) такая, что справедлива формула:
Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если g (x)= х.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 41 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |