Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Выбор сеточного шаблона для неявной разностной схемы

Для простоты вычислений воспользуемся прямоугольной равномерной сеткой с (N+1) узлом на оси OX и (M+1) на оси OY. На данной сетке заменим частные производные разностными операторами и введём сеточную функцию у которая соответствует функции u из пространства непрерывных функций. Для ре-шения задачи с применением неявной разностной схемы воспользуемся Т-образным шаблоном, изображенным на рисунке 1. По данному шаблону составим следующую двухслойную схему:

(1)

Здесь и далее нижний индекс обозначает номер узла сетки по оси X, а верхний — номер слоя (или узел по оси T). Перепишем данную схему в виде удобном для дальнейших вычислений:

(2)

В данной схеме написано меньше уравнений, чем имеется неизвестных u. Недостающие уравнения находим из начальных условий. Уравнение для u₀ непосредственно получаем из начального условия.

(3)

Для нахождения u ₀ проведем преобразования граничного условия второго рода. Для аппроксимации разложим в ряд Тейлора функцию в окрестности точки и вычислим значение в т. x=h:

(4)

Заменяя из уравнения теплопроводности, выразим производную при . Затем производную заменим левой разностной производной. В результате получим:

(5)

Для второго граничного условия u(x,t) разложим в ряд Тейлора в окрестности т. (1,t) и вычислим значение в т. x=1-h:

Как и в первом случае,подставляем в выражение вместо , заменяем ee разностной производной, выражаем при t= . Получаем уравнение:

(6)

Таким образом, сформирована система уравнений, позволяющая найти, зная начальные условия (N+1) неизвестную.

Рассмотрим теперь порядок аппроксимации, который обеспечивает данная разностная схема. Анализ самой разностной схемы с выбранным шаблоном подробно рассмотрен в литературе и на ней я не буду останавливаться более подробно. Погрешность с которой аппроксимируется функция равна . Начальное условие было аппроксимировано точно. Погрешность аппроксимации граничных условий составляет . Таким образом точность аппроксимации всей схемы не превышает этого значения.

Устойчивость, а так же сходимость данной схемы подробно рассмотрены в литературе [2,3] и на них я не буду останавливаться.