Читайте также:
|
|
Таблица неопределенных интегралов
1 , | 2 |
3 | 4 |
5 | 6 |
7 | 8 |
9 | 10 |
11 | 12 |
13 | 14 |
15 | 16 |
17 | 18 |
19 | 20 |
Формула интегрирования по частям имеет вид
1 При нахождении интегралов вида
принимаем многочлен степени ,
2 При нахождении интегралов вида
3 Интегралы, в которых двукратное применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу
Выбор и в таких интегралах произволен.
Простейшими дробями I, II, III, IV типов называются правильные рациональные дроби следующего вида:
I. ;
II. , где m – целое число, большее единицы;
III. , где , т.е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;
IV. , где n – целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Дроби I и II типов интегрируются с помощью подстановки t=x-a. для нахождения интеграла нужно в числителе дроби выделить производную знаменателя и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов: тогда первый из них подстановкой приведется к виду , а второй выделением полного квадрата в знаменателе – к виду .
Для интегрирования простейшей дроби IV типа в числителе дроби нужно записать производную квадратного трехчлена и разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов. Первый из них подстановкой приведется к виду , а второй имеет вид . С помощью подстановки он преобразуется в интеграл вида , который интегрированием по частям можно свести к более простому интегралу того же типа, но показатель в знаменателе уменьшается на единицу. При этом справедлива следующая рекуррентная формула:
При большом n целесообразно применять эту формулу. Повторяя процесс (n-1) – раз, получим табличный интеграл .
Общий план интегрирования дробно - рациональной функции
1 Если рассматриваемая функция есть неправильная дробь, то выделить целую часть, разделив ее числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, то есть записать в виде (1.36):
,
где многочлен, правильная дробь.
2 Разложить знаменатель на линейные квадратичные множители в виде (1.34).
3 С учетом кратности линейных и квадратичных множителей знаменателя разложить правильную дробь на сумму простейших дробей по схеме (1.38) и определить, желательно комбинированным методом, все неизвестные коэффициенты этого разложения.
4 Вычислить интегралы от целой части и от всех простейших дробей разложения (1.38), используя соответствующие методы интегрирования простейших дробей.
Пусть есть правильная дробь. Допустим также, что знаменатель разложен на линейные и квадратичные множители (1.34), где , то есть
.
Тогда справедлива теорема (принимается без доказательства).
Теорема 1.3 Если есть правильная дробь, знаменатель которой представлен в виде
то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме:
где некоторые действительные числа.
Из (1.38) следует, что каждому линейному множителю в степени соответствует простейших дробей I и II видов, а квадратичным множителям в степени , соответствуют простейших дробей III и IV видов.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 22 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Матчи: Энерджи Пуща 8:0 и | | | В.Ю. Баскаков |