Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Цель работы. Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами

Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. В математике также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с вещественными числами. Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой.

Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа А в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления q в некоторой целой степени p, которую называют порядком:

А=m x q^p

Например, число 139,76 можно записать в виде: 0,13976х10³. Здесь m=0,13976 – мантисса, p=3 – порядок. Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна «переплыть», т.е. сместиться десятичная в мантиссе. Отсюда название «плавающая точка». Однако справедливы и следующие равенства:

139,76=13,976х10¹ = 1,3976х10² = 0,013976х10⁴ = 13976 х10^-2

Получается, что представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно? Чтобы не было неоднозначности, в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализованном представлении должна удовлетворять условию:

0.1_q £m< 1_q,

то есть мантисса меньше единицы и первая значащая цифра - не ноль. Следовательно, для рассмотренного числа нормализованным представлением будет: 0,13976х10³.

В разных типах ЭВМ применяются различные варианты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим один из возможных.

Пусть в памяти компьютера вещественное число представляется в форме с плавающей точкой в двоичной системе счисления (q=2) и занимает ячейку размером 4 байта. В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы. Вот как эта информация располагается в ячейке:

1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа. В этом разряде 0 обозначает плюс, 1 – минус. Оставшиеся 7 бит первого байта содержат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы.

Что такое машинный порядок? В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. В десятичной системе это соответствует диапазону от 0 до 127. Всего 128 значений. Знак порядка в ячейке не хранится. Но порядок, очевидно, может быть как положительным, так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрицательными значениями порядка. В таком случае между машинным порядком и истинным (назовем его математическим) устанавливается следующее соответствие:

Если обозначить машинный порядок М_q, а математический q, то связь между ними выразится формулой:

М_{q =} q + 64

Итак, машинный порядок смещен относительно математического на 64 единицы и имеет только положительные значения. Полученная формула записана в десятичной системе счисления. В двоичной системе счисления формула имеет вид:

М_{q =} q + 1000000₂

При выполнении вычислений с плавающей точкой процессор это смещение учитывает.

Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

1) Перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;

2) Записать полученное двоичное число в нормализованном виде;

3) Определить машинный порядок с учетом смещения;

4) Учитывая знак заданного числа (0 – положительное; 1 – отрицательное), записать его представление в памяти ЭВМ.

Например, запишем внутреннее представление числа 139,76 в форме с плавающей точкой в 4-х байтовой ячейке:

1) Переведем десятичное 139,76 и запишем его 24-значащими цифрами:

139,76₁₀ = 10001011,1100001010001111₂

2) Запишем полученное двоичное число в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой:

10001011,1100001010001111₂ = 0,100010111100001010001111₂ х10¹⁰⁰⁰,

где 0,100010111100001010001111₂ – мантисса;

10 – основание системы счисления (2₁₀=10₂);

1000 – порядок (8₁₀=1000₂).

3) Определим машинный порядок:

Mq₂ = 1000 + 1000000 = 1001000

4) Запишем представление числа в ячейке памяти:

Для того чтобы получить внутренне представление отрицательного числа -139,76₁₀ достаточно в полученном выше представлении заменить в разряде знака числа 0 на 1. Никакого инвертирования, как для отрицательных целых чисел, здесь не происходит.

1) Определить диапазон представления целых чисел без знака в формате с фикс. запятой.

· 8 бит: 0…2⁸–1 = 0…255

2) Определить диапазон представления целых чисел со знаком в формате с фикс. запятой.

· 8 бит: –2⁷…–1 0…+2⁷–1 = –128…+127

3) Определить диапазон представления вещественных чисел в формате с плавающей запятой

· 32 бита (8 бит порядок, 24 бита мантисса):

1´2^{–(2^7–2)}…2´2^{+(2^7–1)} = 2^–126…2⁺¹²⁸ = 1,1´10^–38…3,4´10⁺³⁸

· (11 бит порядок, 53 бита мантисса):

1´2^{–(2^10–2)}…2´2^{+(2^10–1)} = 2^–1022…2⁺¹⁰²⁴ = 2,2´10^–308…1,7´10⁺³⁸

· (15 бит порядок, 65 бита мантисса):

1´2^{–(2^14–2)}…2´2^{+(2^14–1)} = 2^–16.382…2^+16.384 = 3,3´10^–4932…1,1´10⁺⁴⁹³²

· значения ±1.000…´2^111… – зарезервированы стандартом IEEE (ANSI) для обозначения ±¥.

· значения +1.000…´2^000… – зарезервированы стандартом IEEE (ANSI) для обозначения 0.

· значения –1.000…´2^000… – зарезервированы стандартом IEEE (ANSI) для обозначения –0.

· значения +1.xxx…´2^111… – зарезервированы стандартом IEEE (ANSI) для обозначения NaN.

4) Представить числа в формате целого числа с фиксированной запятой 8 бит:

· +63: прямой код – [0011 1111]

· –63: обратный код – [1100 0000], дополнительный код – [1100 0001].

5) Записать числа по их внутреннему представлению в ЭВМ в десятичной системе счисления:

· [0111 1110] прямой код [0111 1110₂] = +126

· [1100 0000] дополнительный код [0011 1111+1] = [0100 0000₂] = –64

6) Сложить два числа в дополнительном восьмиразрядном двоичном коде:

· 30 и –13

+30: прямой код – [0001 1110],

–13: прямой код – [0000 1101], обратный код – [1111 0010], дополн. код – [1111 0011].

прямой код – [0001 0001] = 17₁₀

7) Представить числа +127,125 и –127,125 в формате вещественного числа с плавающей запятой 32 бита.

Структура представления чисел в ЭВМ:

· +125,125: прямой код 111 1101,001 = 1,1111 0100 1´2⁶,

смещенный порядок 6+(2⁷–1) = 6+127 = 133 = 1000 0101₂

8) Записать число в десятичной системе счисления по его внутреннему представлению в ЭВМ:

· 01000010011111111000000000000000

0 10000100 11111111000000000000000

Смещенный порядок – [10000100₂] = [132₁₀], несмещенный порядок – [132-127] = [+5].

Число – [+1,1111 1111´2⁺⁵] = [+111111,111₂] = [63,875₁₀].

Тема 1.5 Основные понятия алгебры логики

Цель работы

Определение истинности и ложности высказываний, применение логических операций, представление логических выражений в виде выражений, выполнение упрощений выражений.