Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Введение. По приблизительным оценкам ученых классическими видами топлива (уголь, нефть, природный газ и др.) человечество по уровню потребления 2000 года обеспечено на

По приблизительным оценкам ученых классическими видами топлива (уголь, нефть, природный газ и др.) человечество по уровню потребления 2000 года обеспечено на 150 – 300 лет. В связи с чем, все более актуальным становится разработка и внедрение альтернативных методов получения энергии.

Введение

Теория дифференциальных уравнений возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, практически одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Простейшие дифференциальные уравнения встречались в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «дифференциальное уравнение» введён Г. Лейбницем в 1684 году. В XVIII веке теория дифференциальных уравнений превратилась в самостоятельную научную дисциплину (труды Д. Бернулли, Ж. Д' Аламбера и особенно Л. Эйлера). В XIX и XX веках теория дифференциальных уравнений получила дальнейшее развитие. Выдающийся вклад в современную теорию дифференциальных уравнений внесли российские математики А.М. Ляпунов, Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Л.С. Понтрягин, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и другие.

Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и, особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Основными понятиями теории дифференциальных уравнений являются понятия «производная» и «дифференциал».

Производной первого порядка функции в точке называется предел (если он существует) отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, так что

.

Указанную производную функции одного аргумента называют обыкновенной производной. Для функции, зависящей от нескольких аргументов, вводится понятие частной производной. Так, для функции двух независимых переменных частная производная первого порядка в точке по аргументу определяется следующим образом

.

Аналогично определяется частная производная первого порядка по аргументу

.

Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Функция , область определения которой содержит некоторую окрестность точки , называется дифференцируемой в этой точке, если её приращение

можно записать в форме

, где - некоторая величина, зависящая от . В этом и только в этом случае величина называется дифференциалом функции в точке и обозначается . Таким образом, дифференциал (первый дифференциал) есть главная, линейная часть приращения функции в том смысле, что при фиксированном значении величина есть линейная функция величины , и разность есть бесконечно малая величина относительно . Дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением, т.е. .

Для того, чтобы функция одной переменной имела первый дифференциал в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную , и было справедливо равенство . Таким образом, величина , следовательно, запись понимается не только как два разных обозначения одной и той же величины, но и как доказываемое равенство производной функции в некоторой точке отношению дифференциалов этой функции и её аргумента в той же точке.

В дальнейшем изложении курса будут использованы две различные системы обозначений. В классическом курсе дифференциальных уравнений и связанных с ним дисциплинах (таких, как вариационное исчисление), аргумент функции обозначается обычно буквой , сами функции – символами , а производные различных порядков – соответствующим количеством штрихов или цифрой . Иная система обозначений исторически сложилась в таких дисциплинах, как физика и механика, где независимой переменной чаще всего является время. Аргумент функции в этом случае обозначается буквой , функции – символами , а производные по времени обозначаются точками: . Таким образом, записи и обозначают одно и то же – обыкновенное дифференциальное уравнение порядка .