Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ЭКОЛОГИЯ

14.1. Направляющие косинусы. Поскольку в дальнейшем придётся рассматривать поля и волны, различным образом ориентированные в декартовых системах координат, остановимся на преобразованиях, связанных с поворотами системы.

Пусть имеются две системы координат (х, у, z) и (х', у', z') с общим началом 0. Направление каждой из осей второй системы можно охарактеризовать тремя углами с тремя осями первой системы:

Таким образом,имеется девять углов:

Например, β ₁ - угол между осями у' и x, γ₂ - угол между осями z' и y, и т.д. Подобно тому, как углы первой строчки указывают ориентацию оси х' в системе (х, у, z), во второй и третьей строчках характеризуются оси у' и z'. По столбцам же углы указывают ориентацию осей х, y и z в системе (х', у', z').

Единичные координатные векторы (орты) обеих систем обозначим соответственно. Очевидно, проекции каждого орта одной системы в другой системе будут равны косинусам введённых углов; они называются направляющими косинусами.

Поэтому имеем следующие соотношения:

,

, (14.la)

,

,. (14.1б)

Умножая равенства (14.1а) поочерёдно на , а (14.16) - на , получаем соотношения между направляющими косинусами:

φ = α, β, γ

ψ = α, β, γ (14.2)

ψ ≠ φ

i = 1, 2, 3

k = 1, 2, 3 (14.3)

i ≠ k

При выводе (14.2) принимается во внимание, что и т.д..

Очевидно, что каждую из систем координат (х, у, z) и (х', у', z') можно рассматривать как результат вращения другой системы относительно общего начала 0.

14.2. Преобразование компонент векторов и координат. Возьмем некоторый вектор ; мы можем считать его отложенным из начала координат 0. Записывая в каждой из декартовых систем, составляем равенство:

.

Умножим его, например, на :

Так как, , , , а , получаем:

Если аналогично произвести последовательное умножение этого равенства на другие орты систем координат, то получим формулы, связывающие проекции вектора в разных системах координат.

, (14.3a)

. (14.3б)

Можно сказать, что при вращении декартовой системы координат происходит преобразование компонент вектора в соответствии с равенствами (14.3). Это однородное линейное преобразование, которое мы рассматривали на первой лекции, причём матрица этого преобразования составляется из направляющих косинусов:

и (14.3в)

.

Нетрудно заметить, что матрица S' – это транспонированная матрица S. Преобразование вектора может быть записано с помощью матриц поворота следующим образом:

, а .

Отсюда, в частности, получаем умножением первого равенства слева на S:

.

Но (второе равенство выше), поэтому , т.е. .

Частным случаем является вращение системы координат вокруг одной из осей. Например, при повороте вокруг оси x на некоторый угол φ имеем: α ₁ = 0, α ₂ = α ₃ = 90°, а так как оси у' и z' остаются перпендикулярными оси x (совпадающей с осью x'), то cosβ ₁ = cosγ ₁ = 0. Учитывая, что при этом β ₂ = φ, β ₃ = 90°- φ, γ ₃ = β ₂, γ ₂ = 90°+ β ₂, в результате получаем:

.

Определитель этой матрицы равен, очевидно, единице. Это подчёркивает, что преобразование системы координат происходит без растяжения её осей.

Аналогично получается и обратное преобразование:

,

соответствующее повороту штрихованной системы координат на отрицательный угол (минус φ).

В случае поворота системы координат вокруг осей у и z получаем:

, .

Взяв в качестве радиус-вектор , равный

,

вместо (14.3) получим правило преобразования координат:

, (14.4a)

. (14.4б)

Это правило, как видим, совпадает с правилом преобразования компонент вектора.

14.3. Углы Эйлера. Наконец, надо иметь в виду, что девять углов между осями двух систем координат связаны шестью соотношениями (14.1а,б), поэтому ориентация одной системы координат относительно другой («повёрнутой» относительно «неподвижной») вполне определяется всего тремя углами. Ими могут быть так называемые углы Эйлера Θ, Ф и Ψ, определяемые следующим образом. Плоскости хОу и х'Оу' пересекаются по некоторой прямой, проходящей через начало координат. Угол Θ есть угол между указанными плоскостями (или, что то же самое, между осями z и z '), а Ф и Ψ - углы между упомянутой линией пересечения плоскостей и осями х и х' соответственно.

С помощью трёх последовательных простых вращений можно совместить систему (х, у, z) с системой (х', у', z'). Выполнив их, мы получим формулы преобразования ортов в через углы Эйлера.

Сначала повернем систему (х, у, z) вокруг оси z на угол Ф, до совмещения оси х с линией N пересечения плоскостей z = 0 и z ' = 0, лежащей, естественно, в плоскости XY (прецессия). Этот поворот даётся матрицей

Далее, произведём вращение на угол Θ вокруг оси N (новой оси x) до совмещения плоскостей z = 0 и z' = 0, т.е. осей z и z' (матрица Это вращение называется «нутация».

Последовательность этих преобразований описывается матрицей S _xz:

Обратите внимание на порядок умножения, это умножение некоммутативно!

Наконец, производим «собственное вращение» вокруг оси z до совмещения оси у с осью у' ( угол между ними – это угол Ψ!). В результате получаем полную матрицу преобразования S,

Сравнение этого результата с (14.3в,г) приводит к выражениям направляющих косинусов (девяти величин) через три угла Эйлера, например:

cos α ₁ = cos Ф cos ψ - cos θ sinФ sin ψ,

cos γ₂ = - sinθ cos Ψ

и т. д.

ЭКОЛОГИЯ