Читайте также:
|
|
Правило ясності визначення є виявом закону тотожності. Воно часто порушується тоді, коли замість теоретичних, понятійних визначень вдаються до образних, художніх засобів, характерними рисами яких є інакомовність, багатозначність, символічність.
4. Визначення повинно бути стверджувальним. Це правило належить не стільки до необхідних умов правильного мислення, скільки до побажань. Так, на запитання «що таке демократія?» учений-фізик, не погрішивши проти істини, може відповісти: «Заявляю з
усією відповідальністю, що «демократія» не належить до понять фізики». Оскільки це судження містить гранично бідну інформацію, воно не може вважатися визначенням. Хоча звідси не випливає, що будь-яке заперечне судження не може відігравати роль визначення. Як відомо, математичні науки іноді вдаються до заперечних визначень.
Діяти доводиться за відсутності понятійного знання про предмети, тому звертаються й до інших засобів пізнання, які лише нагадують визначення понять. Йдеться насамперед про характеристику, портрет, опис, порівняння, вказівку тощо.
До перелічених засобів іноді звертаються і за умови наявності поняття про відповідний предмет. Річ у тім, що в деяких практичних ситуаціях не обійтися без знань неістотних властивостей пізнаваних предметів, які, не відображаються в поняттях. Спробуйте розпізнати людину, яку потрібно зустріти, скажімо, на вокзалі великого міста, маючи про неї лише поняття, тобто знаючи лише істотні й загальні ознаки. В той же час знання неістотних ознак — статі, віку, специфіки зовнішності, одягу і навіть речей, які вона матиме, — дадуть змогу її впізнати.
Чим же відрізняється визначення поняття від перелічених засобів пізнання? У понятті, як відомо, відображаються істотні, загальні ознаки предметів і явищ, а в перелічених засобах пізнання можуть розкриватися як істотні, так і неістотні ознаки. Щоправда, в одних із названих засобів пізнання акцент робиться на істотних ознаках (характеристика), в других — як на істотних, так і на неістотних (портрет, опис), а в третіх, — як правило, на неістотних ознаках.
Элементы математической логики
Часто большинству из нас приходится делать выводы и заключения. На чем они основаны? На нашем опыте, интуиции. В любом случае, чтобы сделать вывод или заключение, необходимы исходные данные - посылки и правила - законы, которые обрабатывают исходные посылки и выводят заключения.
В повседневной жизни процесс вывода заключений происходит в большей степени подсознательно, интуитивно, в соответствии с накопленным индивидуальным опытом и, поэтому в существенной степени может иметь субъективный характер. Выводы или суждения, сделанные одним человеком в тех или иных ситуациях, могут частично или полностью не совпадать с выводами и заключениями другого индивидуума.
Тем не менее, все возрастающее число задач научной, технической и технологической направленности требует от нас однозначного принятия решений или однозначного вывода заключений в соответствии с исходным набором посылок. К числу практически важных задач «логики» относится вывод или построение заключения на базе определенных правил в соответствии с исходными посылками.
Термин «логика» происходит от греческого слова логос, что означает «мысль», «разум», «слово», «понятие». Логика (или формальная логика) как наука изучает мышление. Но мышление изучается не только логикой, а и различными другими науками: психологией, физиологией, кибернетикой, педагогикой и т. д. Каждая из них изучает какую-то одну из сторон сложного процесса мышления. Логика есть наука о законах и формах правильного мышления. Она изучает формы рассуждении, отвлекаясь от их конкретного содержания; устанавливает, что из чего следует, ищет ответ на вопрос: как мы рассуждаем?
Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г. до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной или Аристотелевой логикой.
Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. Естественно, что развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и потребовало дальнейшего ее развития.
Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением. «Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления» (Лейбниц).
Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому ученому Д. Булю (1815-1864). Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки — математической логики.
Применение математики к логике позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач,
малодоступных человеческому мышлению, и это, конечно, расширило область логических исследований. К концу XIX столетия актуальное значение для математики приобрели вопросы обоснования ее основных понятий и идей. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики. В этом отношении показательны работы немецкого математика Г. Фреге (1848-1925) и итальянского математика Д. Пеаво (1858-1932), которые применили математическую логику для обоснования арифметики и теории множеств.
Особенности математического мышления объясняются особенностями математических абстракций и многообразием их взаимосвязей. Они отражаются в логической систематизации математики, в доказательстве математических теорем. В связи с этим современную математическую логику определяют как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.
Одной из основных причин развития математической логики является широкое распространение аксиоматического метода в построении различных математических теорий, в первую очередь, геометрии, а затем арифметики, теории групп и т. д.
В аксиоматическом построении математической теории предварительно выбирается некоторая система неопределяемых понятий и отношения между ними. Эти понятия и отношения называются основными. Далее без доказательства принимаются основные положения рассматриваемой теории - аксиомы. Все дальнейшее содержание теории выводится логически из аксиом. Впервые аксиоматическое построение математической теории было предпринято Евклидом в построении геометрии.
Изложение этой теории в «Началах» Евклида не безупречно. Евклид здесь пытается дать определение исходных понятия (точки, прямой, плоскости). В доказательстве теорем используются нигде явно не сформулированные положения, которые считаются очевидными. Таким образом, в этом построении отсутствует необходимая логическая строгость, хотя истинность всех положений теории не вызывает сомнений.
Отметим, что такой подход -к аксиоматическому построению теории оставался единственным до XIX века. Большую роль в изменении такого подхода сыграли работы Н. И. Лобачевского (1792-1856). Лобачевский впервые в явном виде высказал убеждение в невозможности доказательства пятого постулата Евклида и подкрепил это убеждение созданием новой геометрии. Позже немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем фактически была доказана и невозможность доказательства пятого постулата Евклида.
Так возникли и были решены в работах Н. И. Лобачевского и Ф. Клейна впервые в истории математики проблемы невозможности доказательства я непротиворечивости в аксиоматической теории. Непротиворечивость аксиоматической теории является одним из основных требований, предъявляемых к системе аксиом данной теории. Она означает, что из данной системы аксиом нельзя логическим путем вывести два противоречащих друг другу утверждения.
Доказательство непротиворечивости аксиоматических теорий можно осуществить различными методами. Одним из них является метод моделирования или интерпретаций. Здесь в качестве основных понятий и отношений выбираются элементы некоторого множества и отношения между ними, а затем проверяется, будут ли выполняться для выбранных понятий и отношений аксиомы данной теории, то есть строится модель для данной теории. Так, аналитическая геометрия является арифметической интерпретацией геометрии Евклида. Ясно, что метод моделирования сводит вопрос о непротиворечивости одной теории к проблеме непротиворечивости другой теории.
Большинство интерпретаций для математических теорий (и, в частности, для арифметики) строится на базе теории множеств, в связи с этим важно доказать непротиворечивость теории множеств.
Однако в конце XIX века в теории множеств были обнаружены противоречия (парадоксы теории множеств). Попытки устранить противоречия в теории множеств привели Цермело к необходимости построить аксиоматическую теорию множеств. Последующие видоизменения и усовершенствования этой теории привели к созданию современной теории множеств. Однако средства этой аксиоматической теории не позволяют доказать ее непротиворечивость.
Другие методы обоснования математики были развиты Д. Гильбертом (1862-1943) и его школой. Они основываются на построении математических теорий как синтаксических теорий, в которых все аксиомы записываются формулами в некотором алфавите и точно указываются правила вывода одних формул из других, то есть в теорию как составная часть входит математическая логика.
Таким образом, математическая теория, непротиворечивость которой требовалось доказать, стала предметом другой математической теории, которую Гильберт назвал метаматематикой, или теорией доказательств.
В связи с этим возникает задача построения синтаксической, то есть формализованной аксиоматической теории самой математической логики. Выбирая по-разному системы аксиом и правила вывода одних формул из других, получают различные синтаксические логические теории. Каждую из них называют логическим исчислением.
XX век стал веком бурного развития математической логики, формирования многочисленных новых ее разделов. Были построены различные аксиоматические теории множеств, выработано несколько формализации понятия алгоритма, а сама теория алгоритмов была настолько развита, что ее методы стали проникать в другие разделы математической логики, а также в другие математические дисциплины. Так, на стыке математической логики и алгебры возникла теория моделей. Были созданы многочисленные новые неклассические логические системы. В XX веке началось глубокое проникновение идей и методов математической логики в технику (и прежде всего в конструирование и создание ЭВМ), кибернетику, вычислительную математику, структурную лингвистику.
Математическая логика, или символическая логика, – это раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.
Простейший раздел математической логики – алгебра высказываний. Алгебра высказываний используется для решения математических задач, при написании программ и алгоритмов, разработке компьютеров, электронных устройств, автоматических систем.
С применением законов алгебры логики создаются элементные базы, а на их основе создаются устройства, реализующие логические функции.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 44 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Види визначення понять | | | Краткие теоретические сведения |