Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Однородная система линейных уравнений.

Читайте также:
  1. ERP — информационная система масштаба предприятия
  2. I Операционная система ОС Unix
  3. I Операционная система ОС Unix
  4. I Операционная система ОС Unix
  5. I. Система социального регулирования общественных отношений.
  6. I. Система социального регулирования общественных отношений.
  7. II. Общество как социальная система, её основные системные признаки
  8. II. Система культуры и её структура.
  9. III. Систематизація і доповнення знань
  10. Internet и система права.

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.

 

6)продолжение.Введем для системы линейных уравнений (1) следующие матрицы:
.
Систему (1) представим в матричной форме А * Х = В, которая эквивалентна исходной. Действительно, если перемножить матрицы А и Х и приравнять элементы матрицы-произведения к соответствующим элементам матрицы В, то получим систему уравнений (1).
Умножим обе части уравнения А * Х = В слева на матрицу А -1, получим А -1 * (А Х) = А -1 В или (А -1 А) Х = А -1 В.
Так как А -1 * А = Е, то Е*Х = А -1 * В или Х = А -1 * В.
Эта формула дает решение системы в матричной форме.
Пример. Решить систему
используя обратную матрицу.
Решение. Найдем обратную матрицу к матрице системы .
Определитель матрицы А:
.
Так как определитель матрицы А отличен от 0, то обратная матрица существует. Найдем ее по формуле , вычислив предварительно алгебраические дополнения. Получим:
.
Найдем матричное решение системы:
.
Ответ: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = 1.

 

7) продолжение. В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом.

 




Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав