Читайте также:
|
|
По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k, обозначаемое , равно:[5][1][4]
Например, количество вариантов 3-значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно:
Ещё 1 пример: размещений с повторениями из 4 элементов a, b, c, d по 2 равно эти размещения следующие:
Общие правила комбинаторики
Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.
Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A1, A2, …, An, содержащих m1, m2, …, mn элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m1 + m2 + … + mn.
Пример. Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.
Пример. Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?
Решение: По правилу суммы получаем 17+13=30 вариантов.
Кортеж - конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества.
Правило произведения: пусть имеется n множеств A 1, A 2, …, A n содержащих m 1, m 2, …, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а1, а2,..., аn), где а i Î А i1 (i = 1, 2, …, n), равно m1 · m2 · … · mn.
Пример. Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.
Пример. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?
Решение. Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.
Выборки. Если из множества предметов выбирается некоторое подмножество, то его называют выборкой. Выборки бывают упорядоченные и неупорядоченные.
В упорядоченной выборке существенен порядок, в котором следуют ее элементы, другими словами, изменив порядок элементов, мы получим другую выборку.
Пример. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить следующие трехзначные числа 123, 431, 524,...и т.д. Это упорядоченные трехэлементные выборки, так как 123 и 132 - разные числа.
Пример. Из 20 учащихся класса выбрать двух дежурных. Любая пара дежурных представляет собой неупорядоченную двухэлементную выборку, так как порядок их выбора не важен.
Размещения
Размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:
(3.1) |
Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные m -элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.
Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:
(3.2) |
Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?
Решение.
1. Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА.
По формуле (3.1) получаем: наборов.
2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.
По формуле (3.2) получаем: наборов.
Пример. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?
Решение. Выпишем несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ, КЖЗКЖЗ... Мы видим, что состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Поэтому применяем формулу (3.2) и вычисляем число размещений с повторениями из 3 по 6, получаем комбинаций.
Перестановки
Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n (Перестановки - частный случай размещений).
Число перестановок без повторений (n различных элементов) вычисляется по формуле:
(3.3) |
Число перестановок c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться m1, m2, …, mk раз и m1 + m2 +… + mk = n, где n - общее количество элементов) вычисляется по формуле:
(3.4) |
Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие перестановки из этих букв можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буква А повторяется два раза?
Решение.
1. Получатся наборы: БАР, БРА, АРБ, АБР, РАБ, РБА.
По формуле (3.3) получаем: наборов.
2. Получатся наборы: БАРА, БРАА, БААР, ААРБ, ААБР, АБАР, АРАБ, АРБА, АБРА, РАБА, РААБ, РБАА.
По формуле (3.4) получаем: наборов.
Пример. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись?
Решение. Из данных шести цифр можно составить Р6 = 6! = 720 перестановок. Но числа, начинающиеся на нуль, не являются шестизначными. Такие числа отличаются друг от друга перестановкой пяти остальных цифр, значит, их будет Р5 = 120. Поэтому шестизначных чисел будет 720 - 120 = 600 чисел.
Пример. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?
Решение. Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р8 (2,2,2).
По формуле (3.4) получаем: способов.
Сочетания
Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов).
Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m) вычисляется по формуле:
(3.5) |
Число сочетаний c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться) вычисляется по формуле:
(3.6) |
Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковые буквы.
Решение.
1. Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ
По формуле (3.5) получаем: наборов.
2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.
По формуле (3.6) получаем: наборов.
Пример. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов-Петров или Петров-Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.
По формуле (3.5) получаем: способов.
Пример. В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?
Решение. Обозначая булки белого и черного хлеба буквами Б и Ч, составим несколько выборок: ББББББ, ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ,... Состав меняется от выборки к выборке, порядок элементов несущественен, значит это - сочетания с повторениями из 2 по 6. По формуле (3.6) получаем способов.
Cделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 51 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |