Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).

Читайте также:
  1. B) Соединение атома водорода одной молекулы с сильно электроотрицательным элементом другой молекулы
  2. C. Движение информации и ее трансформация от исходной в командную
  3. Dim Имя_Переменной As Тип_Переменной
  4. I. Основные задачи и направления работы библиотеки
  5. I. Основные парадигмы классической социологической теории.
  6. I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЧЕБНОЙ ПРАКТИКИ
  7. I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. РУКОВОДСТВО ПОДГОТОВКОЙ И НАПИСАНИЕМ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
  8. I. Основные свойства живого. Биология клетки (цитология).
  9. I. Основные цели
  10. I. Правила ведения дневника

Осн.правила диф-ния ф-ции одной переменной:

1. Производная постоянной равна нулю,т.е. с’=0.

2. Произв.арг-та равна 1,т.к. х’=1.

3. Произв-я алгебрач.суммы конечного ч-ла дифференцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций, т.е. (u+ν)’=u’+ ν’.

4. Произв.произведений 2-х дифференц-х ф-ций (uν)’=u’ν+uν’.

Следствие1:Пост.множ-ль можно выносить за знак производной: (cu)’=cu’.

Следствие2: (uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’

Доказательство: Пусть u=u(x) и ν=ν(x) – дифференцируемые ф-ции. Найдём производную ф-ции y=uν.

1º.Дадим аргументу х приращение ∆х≠0. Тогда ф-ции u и ν получат наращенные зн-я u+∆u и ν+∆ν, а ф-ция y – значение y+∆y=(u+∆u)(ν+∆ν).

2º.Найдём приращ.ф-ции

∆y=(u+∆u)(ν+∆ν)-uν = uν + ∆uν + u∆ν + ∆u∆ν-uν = ∆uν + u∆ν + ∆u∆ν.

3º.Составим отношение ∆y/∆x, кот.представим в виде

∆y/∆x=(∆y/∆x)ν + u(∆ν/∆x) + (∆u/∆x)(∆ν/∆x)∆x.

4º.Найдём предел этого отнош-я при ∆х→0, используя теоремы о пределах

limx→0∆y/∆x= limx→0(∆u/∆x)ν + u limx→0(∆ν/∆x) + limx→0(∆u/∆x)∙limx→0(∆ν/∆x)∙limx→0∆x.

На основании опр-я производной получили,что y’=u’ν+uν’+u’ν’∙0 или y’=u’ν+uν’.чтд.

5. Производная частного двух дифференцируемых ф-ций м.б.найдена по ф-ле:

(u/ν)’=(u’ν-uν’)/ν2. (ν≠0).

Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функций.

Формулы производных основных элементарных функции.

1.С’ = 0

2.x’=1

3.(u+v)’=u’+v’

4.(uv)’=u’v+uv’

5.(cu)’= cu’

6.(u/v)’= u’v-uv’/v2

7.(un)’= nun-1*u’

8ю(√г)э=(1.2√г)*гэ

9ю(1.г) =-1.г2*гэ

10ю(уг)э= уг*гэ

11.(au)’= au lna*u’

12.(lnu)’=1/u*u’

13.(logau)’ = (1/ulna)*u’

Выводим формулу y=lnx

1. Дадим аргументу х приращение∆x≠0и найдем наращенное значение функции y+∆y=f(x+∆x)

x. ∆x≠0 y+∆y=ln(x+∆x)

2. Находим приращение функции∆y=f(x+∆x)-f(x)

∆y=ln(x+∆x)-lnx=ln(x+∆x/x)= ln (1+∆x/x)

3. Cоставляем отношение ∆y/∆x

∆y/∆x= 1/∆x*ln (1+∆x/x)

4. Находим предел этого отношения при ∆x →0

т.е. y’=lim∆y/∆x (если этот предел существует).

y’= lim∆y/∆x= lim 1/∆xln(1+∆x/x)= (0/0)= lim ln(1+y)/xy=1/xlimln(1+y)1/y= 1/xlimlne=1/x

 

Производная сложной функции

Пусть y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, тогда производная сложной функции y=f (φ(x) существует и равна производной данной функции но промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.

y’=f’(u)’*ux

y’=lim ∆y/∆x= lim ∆y*∆u/∆x*∆u= lim ∆y/∆u*lim∆u/∆x= lim ∆y/∆u= f’(u)*u’

(если∆x →0, то и ∆u →0, т.к. u= φ(x)- непрерывна)

Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.

Теорема Ролля. Пусть ф-ция y=f(x) удовлетворяет след-м усл-ям:

1)непрерывна на отр.[а;b];

2)дифференцируема на инт-ле(а;b);

3)на концах отрезка принимает равные зн-я,т.е. f(a)=f(b).

Тогда внутри отрезка сущ-ет по крайней мере одна такая точка ξ принал.(а,b), в кот.производная ф-ция равна нулю: f’(ξ)=0.

Геом.смысл т.Ролля: Если выполнены усл-я теоремы, то внутри отрезка [а;b] найдётся хотя бы одна точка, в кот. касат-я к гр-ку ф-ции будет ||-на оси абсцисс;в этой точке производная и будет равна нулю.




Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 59 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав