Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Муниципальный этап Российской олимпиады по математике 2014-15 учебного года. 11 класс (Время решения – 4 часа)

11 класс (Время решения – 4 часа)

1. Выясните, какое из двух выражений 2014²⁰¹⁴ + 2012²⁰¹² и 2014²⁰¹² + 2012²⁰¹⁴

больше.

Решение: Рассмотрим разность чисел:

(2014²⁰¹⁴ + 2012²⁰¹² ) – (2014²⁰¹² + 2012²⁰¹⁴⁾ = 2014²⁰¹⁴ + 2012²⁰¹² - 2014^{2012 -} 2012²⁰¹⁴ = =2014²⁰¹²(2014² — 1) — 2012²⁰¹²(2012² — 1) = 2013∙2015∙2014²⁰¹² — 2011∙2013∙2012 ²⁰¹². Это число,

очевидно, положительно, следовательно, первое число больше второго.

2. Можно ли из последовательности 1, , , … выделить арифметическую прогрессию произвольной длины к?

Решение. Можно. Например, Здесь k! = 1×2×3×…×k.

3. Дана трапеция, в которую можно вписать окружность. Докажите, что окружности, построенные на ее боковых сторонах, как на диаметрах, касаются друг друга.

Решение: Если М и Н – центры окружностей, т.е. середины боковых сторон АВ и СD трапеции АВСD, то МН – средняя линия трапеции. Тогда МН= (AD+BC)= (AB+CD) = = AВ + CD =MB + HC = R +r. Следовательно, окружности касаются.

4. Штирлиц должен передать в Центр набор из четырех секретных чисел A, B, C, D (числа натуральные). Для большей секретности он отправил набор чисел A+B, A+C, A+D, B+C, B+D неизвестно в каком порядке. Центр, получив от Штирлица числа 13, 15, 16, 20, 22, расшифровал сообщение и нашел требуемый набор из четырех секретных чисел. Какие это были числа?

Ответ: Это числа - 6, 7, 9,13.

Решение: Поскольку (A+C)+(B+D) = (A+D)+(B+C), а из попарных сумм чисел 13, 15, 16, 20, 22 совпадают только 13+22 = 15+20 = 35, то A+B = 16, C+D = 19. Поскольку A и B одинаковой четности, то получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:

A+B = 16, |A-B| = 2. Решив систему, находим два числа 7 и 9 (т.е. A = 7, B = 9 или A = 9,

B = 7). Далее легко находим два недостающих числа: 6 и 13.

5. На окружности отмечено n точек. Известно, что среди всевозможных расстояний между двумя отмеченными точками не более 100 различных. Каково наибольшее возможное значение числа n?

Решение: Докажем, что наибольшее число точек, расположенных на окружности так, что среди всевозможных попарных расстояний между ними не более ста различных, равно 201.

Предположим, что таких точек более 201 и A - одна из них. Рассмотрим диаметр AB. С одной стороны диаметра (включая точку B) будет расположено не менее 101 точки нашего набора. Все расстояния между ними и точкой A различны, что противоречит

условию. Пример из 201 точки, удовлетворяющий условию, дают вершины правильного 201-угольника.

Муниципальный этап Российской олимпиады по математике 2014-15 учебного года

7 класс (Время решения – 3 часа)

1. Три брата пошли по грибы. Когда они набрали вместе 24 гриба, они пошли в сторону дома. На обратном пути первый брат удвоил количество грибов в своей корзинке, второй набрал половину того количества грибов, что у него было, а третий нашел 2 гриба. Когда братья вернулись, оказалось, что они набрали грибов поровну. Сколько всего грибов они нашли?

Ответ: 36.

Решение. Обозначим за x количество грибов у каждого в корзинке, когда они пришли домой. Тогда до поворота домой у первого брата было x/2 грибов, у второго - 2x/3, а у третьего (x-2) грибов. Получаем уравнение x/2 + 2x/3 + (x-2) = 24, откуда х=12.

2. Ученицы Мария, Нина, Ольга и Полина заняли первые 4 места в соревнованиях. До соревнований были сделаны 3 прогноза: 1) Ольга 2-я, Полина 3-я; 2) Ольга 1-я, Нина 2-я; 3) Мария 2-я, Полина 4-я. В каждом прогнозе оказалась верной только одна половина. Кто какое место занял?

Ответ. Ольга – первая, Мария – вторая, Полина – третья, Нина – четвертая.

Решение. Если в первом прогнозе верно, что Ольга – вторая, то тогда во втором прогнозе ложны оба утверждения. Значит, Ольга – не вторая, тогда Полина – третья. Но тогда в третьем прогнозе верно, что Мария – вторая. Но тогда Нина не может быть второй, то есть во втором прогнозе верно, что Ольга – первая. А тогда Нина – четвертая.

3. Пронумеруйте все вершины и все стороны 7-угольника целыми числами от 1 до 14 (каждое число должно быть использовано ровно 1 раз) так, чтобы при этом для каждой стороны сумма ее номера и номеров ее обоих концов была одной и той же?

Решение. Пример нумерации. Многоугольник ABCDEFG. Номера вершин по порядку, начиная с A: 1, 5, 2, 6, 3, 7, 4. Номера сторон по порядку, начиная с GA: 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8.

Критерии. Любой пример, удовлетворяющий условию – 7 баллов. Неправильный пример (повторяющиеся числа, отсутствие каких-либо чисел, неравенство сумм) – 0 баллов.

4. В коробке лежат белые, синие, красные и зеленые шарики. Белых шариков в 4 раза меньше, чем синих, красных и зеленых вместе. Синих шариков в 6 раз меньше, чем белых, красных и зеленых вместе. Докажите, что число шариков в коробке делится на 35.

Решение. Примем число белых шариков за 1 часть. Тогда синих, красных и зеленых

вместе — 4 части, а всего шариков — 5 частей, то есть общее их количество делится на 5. Теперь примем за 1 часть число синих шариков. Тогда белых, красных и зеленых вместе — 6 частей, а всего шариков — 7 частей, то есть общее их количество делится на 7.

Так как числа 5 и 7 взаимно просты, общее число шариков делится на 5⋅7 = 35, что и требовалось доказать.

5. Петя разрезал (без остатка) квадрат на шесть прямоугольников и измерил длину и ширину каждого прямоугольника. Могло ли у него получиться 12 различных чисел? Если да — нарисуйте соответствующий чертеж, указав размеры каждого прямоугольника. Если нет — объясните, почему.

Ответ. Могло.

Пример. Например, в квадрате со стороной 18 самый верхний прямоугольник имеет размеры (высота×длина) 1×18, второй сверху — 5×16, левый — 13×2, нижний — 4×11, правый — 12×7, центральный — 8×9.