Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Закон распределения и числовые характеристики случайной величины

Под событием понимается любой факт, который может произойти в заданных условиях.

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая при проведении опыта принимает числовое значение, заранее неизвестно какое. Те значения, которые СВ может принимать, образуют множество ее возможных значений (обычно это множество хорошо известно).

СВ Х называется дискретной (ДСВ), если множество ее известных значений счетно, т.е. значения СВ можно пронумеровать (н-р, х₁, х₂, …, х_n). ДСВ полностью задается своим рядом распределения.

Закон распределения – соотношение, позволяющее определить вероятность появления СВ в любом интервале. Основными формами закона распределения являются: ряд распределения, функция распределения и плотность распределения.

Ряд распределения – это таблица из двух строк, в верхней из которых перечисляются все возможные значения ДСВ, а в нижней проставлены вероятности, с которыми ДСВ эти значения принимают. Ряд распределения содержит исчерпывающую информацию о СВ.

Сумма всех вероятностей в ряду распределения =1, т.к. при проведении опыта СВ всегда принимает какое-либо значение (Р(ХÎW)=1). ДСВ каждое свое значение принимает с ненулевой вероятностью.

Функция распределения СВ F(x) – функция аргумента х, равная вероятности того, что случайная величина Х примет любое значение, меньшее х.

Вероятность попадания СВ в интервал [a,b) равна разности значений функции распределения в точках a,b: P(a < x<b)=F(b)-F(a).

Функция распределения – неубывающая величина в интервале от 0 до 1, может иметь разрывы, увеличивается скачками. Между двумя соседними значениями СВ Х функция F(x) постоянна.

Плотность распределения f(x) – есть предел отношения вероятности попадания случайной величины на малый участок и длины этого участка при неограниченном уменьшении.

Числовые характеристики СВ:

1. Среднее значение (математическое ожидание) – характеризует положение СВ, т.е. представляет собой такую величину, относительно которой группируются всевозможные значения СВ.

х_{i –} возможные значения величины Х.

р_{i –} вероятность появления i-го возможного значения СВ Х.

2. Медиана Ме СВ – величина, относительно которой равновероятно получение большего или меньшего значения св: Р(X>Me)=P(X<Me)

Медиану применяют в качестве характеристики ряда распределения в тех случаях, когда имеются большие колебания СВ. На медиану влияет частота появления того или иного значения СВ.

3. Мода Мо – значение СВ, обладающее наибольшей вероятностью. Для непрерывной СВ мода – значение с наибольшей плотностью вероятности.

Для оценки степени разброса св вычисляют:

4. Дисперсия s_x² – математическое ожидание квадрата отклонений СВ от своего математического ожидания: D_x = s_x²=M[(X-m_x)²]. Чем больше дисперсия, тем больше разброс СВ относительно среднего значения.

5. Среднеквадратическое отклонение s_x – положительное значение корня квадратного из дисперсии.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение недостаточно характеризуют с уровень рассеивания. Дополнительно считают коэффициент вариации.

6. Коэффициент вариации V (относительная характеристика) – отношение среднего квадратического отклонения к эмпирической средней:

или

Коэффициент вариации используется для сравнения меры рассеивания (колеблемости) СВ, имеющих различную размерность.