КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ

Теория моделей - раздел математики, возникший при применении методов математической логики в алгебре. Ко 2-й половине 20 в. теория моделей оформилась в самостоятельную дисциплину, методы и результаты которой находят применение, как в алгебре, так и в других разделах математики.

Понятие модель фигурирует в разных науках, поэтому имеет множество значений. Модель (франц. modèle, итал. modello, от лат. modulus — мера, мерило, образец, норма):

1. образец, служащий эталоном (стандартом) для серийного ли массового воспроизведения (модель автомобиля, модель одежды и т. п.), а также тип, марка какого-либо изделия, конструкции;

2. изделие (изготовленное из дерева, глины, воска, гипса и др.), с которого снимается форма для воспроизведения в другом материале (металле, гипсе, каине и др.);

3. человек, позирующий художнику (натурщик), и вообще изображаемые объекты («натура»);

4. устройство, воспроизводящее, имитирующее, обычно в уменьшенном, «игрушечном» масштабе, строение и действие какого-либо другого устройства («настоящего») в научных, практических (например, в производственных испытаниях) или спортивных целях.

Таким образом, модель в широком понимании — образ (в т. ч. условный или мысленный — изображение, описание, схема, чертёж, график, план, карта и т. п.) или прообраз (образец) какого-либо объекта или системы объектов («оригинала» данной модели), используемый при определённых условиях в качестве их «заместителя» или «представителя». Так, модель Земли служит глобус, а модель различных частей Вселенной — экран планетария. В этом же смысле можно сказать, что чучело животного есть модель этого животного, а фотография на паспорте — модель владельца паспорта. В математике часто модель какой-либо системы аксиом обычно называют совокупность объектов, свойства которых и отношения между которыми удовлетворяют данным аксиомам, в терминах которых эти объекты описываются.

Все эти примеры естественно делятся на 2 основные группы: примеры первой группы выражают идею «имитации» (описания) чего-то «сущего» (некоей действительности, «натуры», первичной по отношению к модели); в остальных примерах, напротив, проявляется принцип «реального воплощения», реализации некоторой умозрительной концепции (и здесь первичным понятием выступает уже сама модель). Иными словами, модель может быть системой и более высокого уровня абстракции, чем её «оригинал» (как в первом случае), и более низкого (как во втором). Остановимся на понятии модели в математике. В прикладной математике модель есть абстрактное представление некоторой осязаемой действительности. В теории моделей слово «модель» используется почти в обратном смысле: моде­ли являются конкретными математическими объектами, которые иллюстрируют, интерпретируют некоторые абстрактные идеи.

Для написания аксиом в теории моделей используются формулы, которые являются после­довательностями символов, подчиненных определенным правилам построения. Всё то, что касается манипуляций с формулами, называется синтаксисом. Понятие модели в теории моделей предполагает опре­деленную интерпретацию символов, фигурирующих в формулах, придающую смысл этим формулам, превращая их в истинные и лож­ные сентенции (то есть это семантическое понятие).

Теория моделей очень мало занимается синтаксисом, сущность этой науки держится на семантическом уровне; с этой точки зрения она есть противо­положность тому, что называется теоретической информатикой, существенной компонентой которой является алгоритмическое изучение языков, являющее­ся главным образом синтаксическим исследованием.

Основные понятия теориимоделей - понятия алгебраической системы, формализованного языка, истинности высказывания рассматриваемого языка в данной алгебраической системе. Типичным примером алгебраической системы является система натуральных чисел вместе с операциями сложения и умножения, отношением порядка и выделенными элементами 0, 1.

Простейшие высказывания об этой системе - высказывания типа: «х + у = z при х = 2, у = 3, z = 5», «x у = z при х = 4, у = 2, z = 8», «x < у при х = 2, у = 3». Из простейших высказываний более сложные получаются при помощи пропозициональных связок «и», «или», «если..., то...», «не», а также кванторов «для каждого x...», «существует такое х, что...». Например, утверждение, что числа u и v взаимно просты, более подробно записывается в виде: «для каждых х, у и z, если u = х · у и v =х · z, то x = 1» и, значит, получается из простейших при помощи пропозициональных связок и кванторов.

В общем случае под алгебраической системой понимается непустое множество вместе с заданными на этом множестве совокупностями отношений и операций от конечного числа аргументов. Эти операции и отношения называются основными в алгебраической системе. Каждой такой операции и каждому такому отношению ставится в соответствие определённый символ. Набор W этих символов называется сигнатурой алгебраической системы. Обычно изучаются классы алгебраических систем одной сигнатуры.

Особенно отметим, что в теории моделей накладываются ограничения на язык (или скорее на его семантику), он должен быть финитарным и первого порядка).

Алфавит формализованного языка 1-й ступени состоит из набора W символов отношений и операций; знаков &( Ù ), V, ®, ù, ", $, обозначающих пропозициональные связки и кванторы; набора символов, называемых предметными переменными, а также скобок и запятой. При этом каждому символу отношения или операции приписывается натуральное число, называемое местностью этого символа; оно равно числу аргументов той операции или того отношения, которым соответствует рассматриваемый символ. В число символов отношений включается специальный символ = для отношения равенства. Индуктивно определяются понятия терма и формулы. Предметные переменные являются термами. Если f - символ n -местной операции, а про g ₁ ,..., g _n уже известно, что они термы, то f (g ₁ ,..., g _n) есть тоже терм. Простейшие формулы - выражения вида P (g ₁ ,..., g _n), где Р есть n -местный символ отношения, а g ₁ ,..., g _n - термы. Более сложные формулы получаются из простейших с помощью конечного числа связываний их знаками кванторов и пропозициональных связок.

Символы предметных переменных, встречающиеся в формуле, разделяются на свободные и связанные. Связанные те, которые находятся в области действия квантора по этому переменному, а остальные свободные. Формулы без свободных переменных называются высказываниями. Каждая формула со свободными переменными x ₁ ,..., x _n на каждой алгебраической системе А сигнатуры W определяет n -местное отношение. Например, формула, записывающая утверждение, что числа u и v взаимно простые, определяет на натуральных числах отношение взаимной простоты, которое для пары (3, 5) истинно, а для пары (2, 4) ложно. Для простейших формул соответствующее отношение фактически задается самой системой А. Для более сложных формул соответствующее отношение определяется путем интерпретации кванторов и пропозициональных связок:

(Ф₁ & Ф₂) интерпретируется как «Ф₁ и Ф₂» (в логике такое соотношение называется конъюнкцией высказываний Ф₁ и Ф_2, логическим умножением, обозначается символом Ф₁ & Ф₂ или Ф₁ Ù Ф₂);

(Ф₁ V Ф₂) интерпретируется как «Ф₁ или Ф₂» (дизъюнкция, логическое сложение);

(Ф₁ ® Ф₂) интерпретируется как «если Ф₁, то Ф₂» (импликация высказываний Ф_1, Ф_2, обозначается символом Ф₁ Ф₂. Высказывание Ф₁ называют условием или посылкой, высказывание Ф₂ – следствием или заключением, само высказывание Ф₁ Ф₂ называется следованием или импликацией).

ùФ интерпретируется как «неверно, что Ф» (логическое отрицание высказывания х обозначается и читается «не х» или «неверно, что х».

("x)Ф интерпретируется как «для всех х Ф» (другое обозначение, например, выражение читается так: для любого (всякого, каждого) значения x из X P(x) истинно;

($ х)Ф интерпретируется как «существует х, для которого Ф». Согласно этому определению, каждое высказывание в каждой алгебраической системе соответствующей сигнатуры либо ложно, либо истинно. Другое обозначение, например, выражение читается так: существует значение x из X такое, что P(x) истинно.

Алгебраическая система А называется моделью данного множества S высказываний, если каждое высказывание из S истинно в А.

Класс К алгебраических систем называется аксиоматизируемым, если К есть совокупность всех моделей некоторого множества высказываний. Многие важные классы алгебраических систем, например, классы групп, колец, полей, аксиоматизируемы.
Изучение общих свойств аксиоматизируемых классов - важная часть теории моделей. Во многих случаях по форме высказываний из S удается судить о некоторых алгебраических свойствах класса всех моделей S.

Фундаментальный результат теории моделей - локальная теорема Мальцева (1936), согласно которой если каждая конечная подсовокупность совокупности S высказываний имеет модель, то и S имеет модель. А. И. Мальцев нашел многочисленные применения своей теоремы для доказательства локальных теорем алгебры.

Важным фактом в теории аксиоматизируемых классов является теорема Лёвенхейма - Сколема: всякий аксиоматизируемый класс конечной или счетной сигнатуры, содержащий бесконечные системы, содержит и счетную систему. В частности, нельзя написать такую совокупность высказываний, все модели которой были бы изоморфны одной бесконечной алгебраической системе, например, полю комплексных чисел или кольцу целых чисел. Но, тем не менее существуют аксиоматизируемые классы, все системы которых данной бесконечной мощности изоморфны.

Одной из важных конкретных совокупностей высказываний является совокупность, определяющая понятие множества. Это понятие описывается на языке 1-й ступени, сигнатура которого состоит из одного символа - символа бинарного отношения, интерпретируемого как «х есть элемент y». Существует несколько вариантов таких описаний, каждый из которых осуществляется при помощи своей совокупности высказываний. Эти совокупности называются системами аксиом для теории множеств. Развитие теории моделей показало, что нельзя выбрать такую систему аксиом для теории множеств, которая удовлетворила бы все потребности математики.
Центральная часть современной теории моделей - это изучение элементарных теорий, т. е. теорий, описываемых на языке 1-й ступени. Однако постепенно все возрастающее место отводится и изучению теорий, описываемых при помощи более богатых языков.

Историческая справка.

Основные понятия теории моделей возникли в математике в 19 в., главным образом в работах по основаниям геометрии. К понятию модели данного множества высказываний вплотную подошел Н. И. Лобачевский в работах по геометрии. В полной мере оно появилось в работах Э. Бельтрами и Ф. Клейна, построивших модели геометрии Лобачевского. Современной формулировки основных понятий теории моделей сложились в работах школ Д. Гильберта и А. Тарского. Теория моделей возникла в начале 30-х гг. 20 в. в результате применения методов математической логики в алгебре, одним из инициаторов которого был А. И. Мальцев.