Читайте также:
|
|
1. Укажем наиболее простой способ построения матриц Адамара сколь угодно больших порядков. Пусть Нn - матрица Адамара порядка n и -Нn - матрица с противоположными элементами. Составим из них матрицу порядка 2n следующим образом:
Именно таким образом получались одна из другой матрицы порядков 1, 2, 4, 8, приведенные в начале этого параграфа.
Доказать, что матрица Н2n является матрицей Адамара.
2. Следующие две операции преобразуют матрицу Адамара снова в матрицу Адамара:
1) перестановка строк (или столбцов);
2) умножение строки (или столбца) на -1.
С помощью этих операций любую матрицу Адамара можно преобразовать в так называемую нормализованную матрицу Адамара, у которой первая строка и первый столбец состоят из одних единиц.
3. Изложим еще один метод построения матрицы Адамара - метод Пэли. Рассмотрим поле Zр вычетов по модулю р, где р - простое число. Всякий элемент Zp, являющийся квадратом какого-либо элемента того же поля, называется квадратичным вычетом, всякий другой - квадратичным невычетом. Определим на Zp следующую функцию χ‾(i), называемую символом Лежандра *):
Исходя из этого определения, можно доказать, что для всякого с ≠ 0 выполняется равенство
χ(1‾) χ(‾1 + ‾c) + χ(2‾) χ(‾2 + ‾c) +... + χ(p-1)‾ χ (p-1‾ + c‾) = -1. (3)
Рассмотрим теперь квадратную матрицу Q порядка р, элементы которой qij (i, j = 1, 2,..., р) определяются следующим образом:
qij = χ(j‾ - i‾).
Пусть Е - единичная матрица порядка р, a J - квадратная матрица того же порядка, все элементы которой равны 1. Тогда, пользуясь (3), можно доказать равенства
QQT = pE - J, QJ = JQ = 0. (4)
Пусть теперь p = 4k - 1. В этом случае матрица
является матрицей Адамара порядка p + 1. Действительно, вычисляя произведение ННТ, получаем:
Далее, как нетрудно проверить, матрица Q порядка р = 4k - 1 совпадает с матрицей -QT. Отсюда с учетом (4) имеем:
J + (Q - E) (QT - E) = J + QQT - Q - QT + E = J + pE - J - Q + Q + E = (p + 1)E.
Таким образом, HHT = (р + 1)E.
Дата добавления: 2014-12-19; просмотров: 27 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |