Студопедия
Главная страница | Контакты | Случайная страница | Спросить на ВикиКак

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Элементы теории множеств.

Читайте также:
  1. I. Исторические аспекты возникновения теории инвестиций и инвестиционного менеджмента.
  2. I. Исторические аспекты возникновения теории инвестиций и инвестиционного менеджмента.
  3. I. Основные парадигмы классической социологической теории.
  4. I. Социальное взаимодействие и социальное отношение. Теории социального взаимодействия.
  5. I. Теории социального неравенства.
  6. I.II. ЭЛЕМЕНТЫ ФИНАНСОВОЙ ПОЛИТИКИ
  7. II Отказ от предположений неоклассической теории
  8. II. Методология теории государства и права.
  9. II. Неклассическая парадигма социологической теории.
  10. II. Сущность теории социальной стратификации.

Понятие множестваили совокупности принадлежит к числу простейших математических понятий. Оно не имеет точного определения. Любое множество задается своими элементами. Примерами являются множество книг в библиотеке или множество студентов, присутствующих на занятии. Обычно множество обозначают заглавными латинскими буквами (A), а его элементы строчными латинскими буквами (a). То, что элемент принадлежит множеству, обозначают так: a A. Если a не принадлежит A, то этот факт обозначают так: a A.

 

Чтобы задать множество, следует или перечислить его элементы, или указать характеристическое свойство его элементов, то есть такое свойство, которым обладают все элементы множества и только они. Мы уже знакомы со следующими примерами подмножеств вещественных чисел.

П р и м е р ы. 1. Множество натуральных чисел: N={1, 2, 3,…,n, n+1,…}. Из записи следует, что все натуральные числа, начиная с двойки, получаются прибавлением единицы к предыдущему числу.

2. Множество целых чисел: Z={0, 1 ,–1, 2, –2,…,n, –n,…}.

3. Множество рациональных чисел: ={ | }.

4. Множество всех действительных (вещественных) чисел R.

5. Множество комплексных чисел .

 

Два множества равны тогда и только тогда, когда состоят из одних и тех же элементов. Если все элементы множества A содержатся в множестве B, то говорят, что A является подмножеством множества B и обозначают A B. Поэтому означает, что и одновременно .

Очевидно, что .

В рамках рассматриваемой математической теории вводят два исключительных множества: пустое множество ( ), не содержащее элементов, и универсальное множество или «универсум» (U), содержащее все элементы данной теории.

 

Аксиоматика операций над множествами.

 

Основными операциями над множествами являются следующие.

 

1. Дополнение.Для любого множества определим дополнение .

Например, в множестве вещественных чисел дополнением к множеству является множество всех иррациональных чисел.

 

2. Объединение.Для любых двух множеств определим объединение .

Например, объединением отрезков [1,3] и [2,7] является отрезок [1,7].

2. Пересечение.Для любых двух множеств определим пересечение .

Например, пересечением отрезков [1,3] и [2,7] является отрезок [2,3].

Для иллюстрации операций над множествами вводят диаграммы Эйлера-Венна – круги, обозначающие множества. Так, введенные нами операции иллюстрируются следующим образом.

 

Подчеркнем, что диаграммы Эйлера-Венна не могут служить доказательствами равенства множеств.

Кроме введенных нами трех операций над множествами существуют еще операции, которые могут быть представлены как комбинация простейших операций. Введем операцию вычитаниямножеств: . На диаграмме Эйлера-Венна результат вычитания выглядит так:

А\В = U\В

Для строгого доказательства равенства следует убедиться в том, что все элементы правого множества из равенства принадлежат левому и все элементы левого множества принадлежат первому.

Помимо разности двух множеств вводят еще и симметрическую разность: .

Помимо введенных операций над множествами рассматривают декартово произведение двух множеств. Декартовым произведением множеств A и B называется множество , элементы которого задаются двумя координатами, из которых первая – элемент множества A, а вторая – элемент множества B. Например, если A – множество названий всех улиц какого-то города, B – множество номеров домов от 1-го до 10-го, то – множество адресов городских домов, расположенных в начале улиц. В данном случае количество этих адресов равно произведению количеству городских улиц на 10.

Множество точек плоскости обозначается . Множество точек трехмерного пространства обозначается .


Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 13 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2017 год. (0.01 сек.)