Читайте также:
|
Форме.
Сложение двух комплексных чисел выполняется по формуле
(ах + bxi) + (а2 + b2i) = (≪ j + а2) + (6t + b2)i.
Например, суммой двух комплексных чисел 21 = 3 + 4￡ и 22 =
= -5 + 3￡ является г = г х + г2 = (3 - 5) + (4 + 3)/ = -2 + 7i.
Сумма двух сопряженных комплексных чисел z = а + bi и г —
= a - bi равна z + z = 2а.
Вычитание двух комплексных чисел определяется как дейст-
л вие, обратное сложению. Разность двух комплексных чисел находится
по формуле
(ах + ftji) - (а2 + b2i) = (iflj - а2) + (bl - b2)i.
Например, разность двух комплексных чисел z1 = 4 - Si и z2 =
= -3 + Ы равна
2 = г 1 - г2 = (4 - 3i) - (-3 + Ы) = (4 + 3) + (-3 - 5)i - 7 - 8 и
Разность двух сопряженных комплексных чисел z = а + bi и
г — a - bi равна а + bi - а + bi = 2 bi.
Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме.
Умножение двух комплексных чисел выполняется по формуле:
(aj + b1i)(a2 + b2i) = (aja2- bxb^) + (a1b2 + a2bx)i.
Правило умножения распространяется и на большее число
сомножителей.
♦ ПРИМЕР
Найти произведение комплексных чисел: 1) z1 = 2 + Зг и г2 =
= -1 - i; 2) zx = 3 — 2i, z2 = 1 + 4t и z3 = 2 - i.
РЕШЕНИЕ. 1) zx-z2 = (2(—1) - 3 (- l)) + (2 (- l) + (- l)3)i = (-2 + 3) +
+ (-2 - 3)i = 1 - 5 i;
2) z1-z2 = (3 - 2 i)(l + 40 = 3 + 12i - 2i - Si2 = 3 + lOi + 8 =
= 11 + lOi;
zl -z2-z3 = (H + 100(2 - 0 = 22 - l l i + 20i - Юг2 = 22 + 9i - 10 =
= 32 + 9 i.
При перемножении сопряженных чисел 2 = а + 6г и 2 = а - bi
получим г • г = (а + bi)(a - bi) = а2 - b2i 2 = а2 + Ь2 = г2, где г — модуль
каждого из сомножителей. Итак, произведение двух сопряженных
комплексных чисел является действительным числом,
равным г2, т. е. квадрату их общего модуля.
Равенство
показывает, что сумму квадратов двух действительных чисел
можно разложить на комплексные множители. Это разложение
на множители невыполнимо в множестве действительных чисел.
♦ ПРИМЕР
Используя формулу (1.1), разложить на комплексные множители:
1) 4 т 2 + 9л2; 2) а + Ь; 3) 2 + Л >; 4) 5.
РЕШЕНИЕ.
1) 4т 2 + 9л 2 = (2т)2 + (З л)2 = (2т + З л 0 (2т - 3 ni);
2 )a + b= (У а)2 + (J b)2 = (л / а + i jb){ j~a - i j b);
3)2 + J l = (V I)2 + (i/5)2 = (JH + i i/ 5) (j2 - ii/b);
4) 5 = 1 + 4 = l 2 + 22 - (1 + 2 i)(l - 2i).
Деление комплексных чисел, заданных в алгебраической форме.
Деление комплексных чисел рассматривается как действие, обратное
умножению, и производится по формуле
ПРИМЕР
Найти частное от деления числа zx — 3 + 4i на число 22 = 2 - 3i.
РЕШЕНИЕ.
f l _ 3 + 4t = (3 + 4Q(2 + 3 i) = 6 + 9i + Si + 12г2 = 6 + 17/ - 12 =
г 2 2 - 3 t (2 - Зг)(2 + Зг) 4 - 9*2 4 + 9
= -6 17. _ 6 17.
13 131 13 1311
20. Возведение комплексных чисел в степень. Возведение комплексного
числа z = а + bi в степень п(п е N) будем рассматривать как
частный случай умножения комплексных чисел:
zn — z • z •... «2.
Найдем натуральные степени мнимой единицы i:
i2 = - 1, t3 = i2 • / = - i t i4 = i2 • г2 = (- 1) (- 1) = 1, i5 = i4 • i = i, г6 =
= i4 • i2 = 1 • (- 1) = - 1, i7 - i4 • i3 = 1 • (- 1) - - i, /8 = i4' i 4 = l.
Учитывая, что i4 — 1, имеем i4" +1 = i • i4n + 2 = — 1, ￡4л + 3 = — /, где
ne N.
♦ ПРИМЕР 1
Вычислить /55
♦ ПРИМЕР 2
Вычислить: 1) zx = (1 + i)2, 2) г2 = (1 + i)3> 3) zz = (1 + z)4≫ 4) z4 =
= (3 - 2i)2, 5) 25 = (1 + i)17> 6) 26 = (1 - ОТРЕШЕНИЕ.
1) 2j = 1 + 2i + i2 - 1 + 2i - 1 - 2i;
2) z2 = (1 + i)2( 1 + i) = 2i (1 + i) = -2 + 2i;
ЧАСТЬ I Алгебра и начала анализа
3) 23 = (1 + 02(1 + О2 = 2г • 2i = 4 i2 = -4;
4) z4 = 9 - Ш + 4i2 = 9 - I2i - 4 = 5 - 12 i;
5) z5 = (1 + 016(1 + 0 = ((1 + О4)4 (1 + О = (—4)4(1 +i) = 256(1 + 0;
6) 2 1 = 1 = 1 = 1 x
2б 1 - 3i + Si2 - iB 1 - 3i - 3 + i - 2 - 2 i 2(1 + i)
1 - i 1 - i 1 - i 1, 1 –
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. Какие числа называются натуральными? Какое обозначение введено для множества натуральных чисел?
2. Какие числа входят в множество целых чисел? Какое обозначение принято для этого множества?
3. Какое множество называется множеством рациональных чисел и как это множество обозначается?
4. Перечислите основные законы действий над рациональными числами.
5. Какие обыкновенные дроби обращаются в конечные десятичные?
6. Какие обыкновенные дроби выражаются только приближенными десятичными?
7. Какие десятичные дроби называются бесконечными периодическими?
8. Что называется периодом бесконечной периодической десятичной дроби?
9. Какие периодические дроби называются чистыми и смешанными и как сокращенно они записываются?
10. Как записываются целые числа и конечные десятичные дроби в виде бесконечных периодических дробей?
11. Любая ли бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным
числом?
12. Как обратить чистую периодическую десятичную дробь в обыкновенную?
13. Как обратить смешанную периодическую десятичную дробь в обыкновенную?
14. Какое исключение представляет собой бесконечная периодическая десятичная
дробь с периодом 9?
15. Какие числа называются иррациональными и как обозначается множество иррациональных чисел?
16. Какие числа называются действительными и какое для них введено
обозначение?
17. Что понимается под абсолютной величиной действительного числа?
18. Почему нельзя делить на нуль?
19. Какие числа называются комплексными и мнимыми?
20. Как геометрически представляется комплексное число?
21. Что называется модулем комплексного числа?
22. Как выполняется сложение и вычитание комплексных чисел?
23. Как геометрически представляется сумма двух комплексных чисел?
24. Как выполняется умножение комплексных чисел?
25. Как выполняется деление комплексных чисел?
26. Как выполняется возведение в степень мнимых и комплексных чисел?
Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 38 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |