Читайте также:
|
|
Нумерация примеров соответствует номерам заданий контрольной работы. В примерах подробно рассмотрен ход решения и даны необходимые пояснения. Однако данных примеров недостаточно для успешного выполнения контрольной работы, так как в них не содержится общий теоретический материал, который необходимо изучить самостоятельно по учебникам. В помощь студенту в каждом примере приведен список основных теоретических понятий, формул, методов, которые нужно знать для успешного решения задач по данной теме.
Пример 1. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел:
.
Теория: комплексное число; мнимая единица; действительная и мнимая части комплексного числа; модуль и аргумент комплексного числа; сопряженные числа; сложение, умножение, деление комплексных чисел.
Решение.
Найдем дискриминант
.
Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней. Вычислим квадратный корень из дискриминанта:
.
Тогда решение уравнения
.
Следовательно, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня
и .
Пример 2. Найти значение матричного выражения , где
, , .
Теория: матрица, элемент матрицы; умножение матрицы на число; сложение и вычитание матриц; умножение матриц; транспонированная матрица.
Решение.
Произведем вычисления по действиям:
1. Умножим матрицу A на число 2:
.
2. Транспонируем матрицу B:
.
3. Умножим транспонированную матрицу на матрицу C:
4. Вычтем матрицы 2 A и :
Пример 3. Вычислить определитель:
.
Теория: определитель матрицы; вычисление определителя 3-го порядка методом треугольников; минор, алгебраическое дополнение; свойства определителей; разложение определителя по строке (столбцу).
Решение.
По теореме Лапласа, определитель 4-го порядка можно разложить на четыре определителя 3-го порядка, которые легче вычисляются (например, по правилу треугольников). Данный определитель удобно разложить по 2-й или 3-й строке, либо по 2-му или 3-му столбцу, т.к. в них есть нули. Воспользуемся, например, 2-й строкой:
Пример 4. Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) матричным методом, б) по формулам Крамера, в) методом Гаусса:
.
Теория: системы линейных уравнений; совместность систем; матрица системы, расширенная матрица системы; ранг матрицы; теорема Кронекера-Капелли; обратная матрица; матричный метод решения; формулы Крамера; элементарные преобразования систем уравнений, прямой и обратный ход метода Гаусса.
Решение.
а) Решим систему матричным методом. Запишем матрицу коэффициентов системы: . Наиболее трудоемкой частью метода является нахождение обратной матрицы A -1. Для этого сначала вычислим определитель матрицы (например, по правилу треугольников):
Теперь рассчитаем алгебраические дополнения элементов матрицы:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Тогда обратная матрица . Умножив ее на столбец правых частей системы, получим:
Следовательно, решение системы .
Решив систему, полезно сделать проверку, подставив значения неизвестных в уравнения системы:
.
Так как все равенства выполняются, система решена верно.
б) Решим эту же систему по формулам Крамера. Определитель матрицы системы уже был вычислен в пункте (а) данного примера:
.
Заменим 1-й столбец на столбец правых частей системы и рассчитаем получившийся определитель:
.
Заменим 2-й столбец на столбец правых частей системы и рассчитаем получившийся определитель:
.
Заменим 3-й столбец на столбец правых частей системы и рассчитаем получившийся определитель:
.
Тогда по формулам Крамера
, , .
в) Решим эту же систему методом Гаусса. Данный метод основан на использовании элементарных преобразований систем уравнений, важнейшим из которых является то, что к любому уравнению системы можно прибавить любое другое уравнение системы, умноженное на произвольное число. С помощью этих преобразований происходит последовательное исключение неизвестных из уравнений (пометки сбоку поясняют выполняемые действия):
|
|
|
|
|
|
Поясним проделанные преобразования (прямой ход метода Гаусса):
1) меняем местами 1-е и 2-е уравнения, чтобы коэффициент перед x 1 в первом уравнении был равен единице; это облегчает подбор множителей на следующем шаге;
2) исключаем x 1 из 2-го и 3-го уравнений, для этого умножаем 1-е уравнение на 3 и прибавляем его ко 2-му уравнению, затем умножаем 1-е уравнение на (-5) и прибавляем его к 3-му уравнению;
3) исключаем x 2 из 3-го уравнения; т.к. множитель здесь получается дробный, удобнее умножить 3-е уравнение на 7 и прибавить к нему 2-е уравнение, умноженное на 11.
Теперь находим значения неизвестных из преобразованной системы (обратный ход метода Гаусса):
1) из 3-го уравнения сразу получаем ;
2) подставим это значение во 2-е уравнение:
, отсюда и ;
3) подставим найденные значения x 2 и x 3 в 1-е уравнение: , отсюда .
Пример 5. Найти общее решение системы линейных уравнений, а также два любых частных решения:
.
Теория: неопределенные системы линейных уравнений; метод Гаусса; базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные; общее и частные решения системы.
Решение.
Для нахождения общего решения системы используем метод Гаусса. Прямой ход метода выполняется аналогично предыдущему примеру:
|
|
|
|
|
Þ .
В последнем уравнении осталось несколько неизвестных, то есть система не имеет однозначного решения и является неопределенной.
Разделим переменные на базисные (основные) и свободные (неосновные). Количество базисных переменных равно рангу матрицы системы, который совпадает с количеством уравнений, оставшихся после прямого хода метода Гаусса, то есть равно 3. Проще всего выбрать в качестве базисных первые три переменные, то есть x 1, x 2 и x 3, тогда оставшиеся переменные x 4 и x 5 будут свободными. Для проверки допустимости такого выбора переменных составим определитель из коэффициентов при базисных переменных и проверим его неравенство нулю:
.
Найдем общее решение системы, выразив базисные переменные через свободные (обратный ход метода Гаусса):
1) из 3-го уравнения находим ;
2) выражаем из 2-го уравнения x 2 и подставляем в него выражение для x 3:
;
3) выражаем из 1-го уравнения x 1 и подставляем выражения для x 2 и x 3:
Тогда общее решение системы имеет вид:
,
,
.
Для получения частных решений придадим свободным переменным произвольные значения и подставим в общее решение.
Пусть, например, x 4 = 1, x 5 = 2. Тогда:
, , .
Получили 1-е частное решение системы: x 1 = –17, x 2 = 13, x 3 = 11, x 4 = 1, x 5 = 2.
Пусть x 4 = 0, x 5 = 1. Тогда:
, , .
Получили 2-е частное решение системы: x 1 = –4, x 2 = 2, x 3 = –2, x 4 = 0, x 5 = 1.
Пример 6. Для векторов a = (4; -3; -2) и b = (1; 3; -6) найти: а) их длины; б) скалярное произведение векторов; в) угол между векторами; г) векторное произведение векторов; д) площадь параллелограмма, построенного на векторах; е) вектор .
Теория: вектор; длина вектора; единичный вектор; орты осей координат; координаты вектора; умножение вектора на число; сложение и вычитание векторов; скалярное, векторное и смешанное произведения векторов; угол между векторами; признаки коллинеарности и перпендикулярности векторов.
Решение.
а) Найдем длины векторов:
; .
б) Найдем скалярное произведение векторов:
.
в) Найдем угол между векторами:
; .
г) Найдем векторное произведение векторов (используем правило треугольников для расчета определителя):
.
д) Найдем площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Эта площадь численно равна длине вектора, найденного в пункте (г):
(кв.ед.).
е) Найдем вектор :
;
;
.
Пример 7. Треугольник ABC задан координатами своих вершин A (-3; 3), B (4; 1), C (-1; -2). Требуется найти: а) длины его сторон; б) угол при вершине B; в) уравнение стороны AC; г) уравнение медианы, проведенной из вершины B; д) уравнение высоты, опущенной из вершины B; е) уравнение прямой, проходящей через вершину B параллельно стороне AC; ж) площадь треугольника.
Теория: система координат на плоскости; расстояние между двумя точками; определение координат вектора по двум точкам; уравнение прямой, проходящей через две точки; общее уравнение прямой; уравнение прямой с угловым коэффициентом; угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Решение.
а) Найдем длины сторон как расстояние между двумя заданными точками:
,
,
.
б) Найдем угол при вершине B как угол между векторами BA и BC (см. Пример 6(в)). Выразим координаты векторов через координаты вершин:
, .
Тогда ;
.
в) Запишем уравнение стороны AC как уравнение прямой, проходящей через две точки:
Þ Þ Þ
Þ .
Окончательно, уравнение прямой AC в общем виде .
г) Получим уравнение медианы, проведенной из вершины B. Для этого найдем координаты точки D, лежащей на середине стороны AC:
.
Уравнение медианы запишем как уравнение прямой, проходящей через две точки B и D:
Þ Þ Þ
Þ – уравнение медианы.
д) Получим уравнение высоты, проведенной из вершины B. Возьмем уравнение прямой AC и найдем ее угловой коэффициент:
Þ Þ .
Так как искомая высота перпендикулярна прямой AC, то используем условие перпендикулярности прямых, чтобы найти угловой коэффициент высоты:
.
Это означает, что уравнение высоты имеет вид . Значение b найдем из того, что высота проходит через точку B (4; 1), следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению высоты:
.
Окончательно, уравнение высоты .
е) Найдем уравнение прямой, проходящей через вершину B параллельно стороне AC. В данном случае воспользуемся условием параллельности прямых:
.
Тогда искомое уравнение имеет вид . Значение b найдем аналогично предыдущему пункту:
.
Окончательно, уравнение прямой .
ж) Найдем площадь треугольника. Это можно сделать различными способами, например, по формуле:
.
Пользуясь результатом пункта (б) и основным тригонометрическим тождеством, найдем
.
Тогда (кв. ед.).
Пример 8. Пирамида ABCD задана координатами своих вершин A 1(-1, 3, -3), B (4, -1, 0), C (2, 1, -2), D (3, 4, 5). Требуется найти: а) длину ребра AB; б) уравнение прямой AB; в) угол между ребрами AB и AD; г) уравнение плоскости ABC; д) угол между ребром AD и гранью ABC; е) объем пирамиды.
Теория: система координат в пространстве; расстояние между двумя точками; определение координат вектора по двум точкам; уравнение прямой в пространстве; направляющий вектор прямой; уравнение плоскости, проходящей через три точки; общее уравнение плоскости; нормальный вектор плоскости; угол между прямой и плоскостью; взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Решение.
а) Найдем длину ребра как расстояние между двумя заданными точками A и B:
.
б) Запишем уравнение прямой AB как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A и B:
|
в) Найдем угол между ребрами AB и AD как угол между векторами AB и AD (см. Пример 6(в)). Выразим координаты векторов через координаты вершин:
,
.
Тогда ;
.
г) Найдем уравнение плоскости ABC как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки A, B и C:
Окончательно, уравнение плоскости имеет вид .
д) Из полученного уравнения плоскости определим ее нормальный вектор . Так как вектор , найденный в пункте (в), является направляющим вектором прямой AD, то по формуле угла между прямой и плоскостью
;
.
е) Объем пирамиды, построенной на трех векторах, равен модулю их смешанного произведения. Вектора AB и AD были уже найдены в пункте (в). Найдем вектор . Тогда
(куб. ед.).
Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 19 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |