Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Експотенціальний та логістичний ріст

Математична модель росту популяції та взаємодії хижак-жертва при спрощуючих припущеннях:

1. Густина даного виду, тобто кількість особин на одиницю площі, може бути повністю описана за допомогою однієї змінної; це означає, що ми нехтуємо віковими, статевими та генетичними відмінностями;

2. Зміни густини можуть бути адекватно описані детерміністськими рівняннями;

3. Результати взаємодії в межах виду та між видами вважаються миттєвими. Необхідно враховувати наступну обставину: якщо детерміністські рівняння передбачають, що густина популяції досягне стійкого значення, то густина реальної кінцевої системи, ймовірно, буде коливатись біля цього значення; якщо детерміністські рівняння передбачають коливання чисельності, то цілком можливо, що у випадку реальної кінцевої популяції це призведе до вимирання.

Найпростіше диференціальне рівняння, що описує ріст популяції, має вигляд:

,

де – густина популяції у момент , а – постійна. Розв’язком цього рівняння є функція , де – густина в момент часу . Ця функція добре описує ріст колонії бактерій до виснаження культурного середовища. З рівняння випливає, що якщо у будь-який момент часу почати спостереження за великою вибіркою особин і продовжувати його протягом короткого періоду , то частка особин, що розмножувались протягом цього періоду, буде дорівнювати , де – постійна. А це означає, що розподіл за віком (стосовно до бактерій – частка особин, що знаходяться на різних стадіях циклу ділення) не змінюється з часом. Подібне твердження справедливе не для всіх випадків. Наприклад, наведене рівняння не може бути адекватним описом для синхронізованої культури. Однак, як показав Лотка, вікова структура популяції, що розмножується, буде наближуватись до стійкої за умови, що специфічна для кожної вікової групи народжуваність та смертність залишаються постійними. А це в свою чергу вимагає сталості умов середовища, наявності надлишку необхідних ресурсів і відсутності еволюційних змін.

Найпростіше диференціальне рівняння справедливе лише для обмеженого періоду часу; наприкінці популяція, що росте, вичерпує наявні ресурси. Чисельність популяції стабілізується на деякому стійкому значенні; вона може відчувати регулярні або нерегулярні флуктуації або скорочуватись. Поведінка популяції, чисельність якої стабілізується на деякому стійкому рівні, часто описується за допомогою логістичного рівняння (аналогічного рівнянню Ферхюльста)

або .

Застосування цього рівняння можна пояснити тим, що воно є найпростішим диференціальним рівнянням, яке має дві необхідні властивості:

1. При малих значеннях рівняння зводиться до найпростішого і ріст має експотенціальний характер;

2. За ростом величина монотонно наближується до постійного значення.

На рис.5.1 зображена крива росту дріжжевих клітин у культурі та ріст, що передбачається логістичним рівнянням.

У рівнянні означає істинну швидкість росту, а – ємність середовища. „Ємність середовища” – означає рівноважну густину, яка досягається видом жертви у відсутності хижака.

Рис.5.1

Рівняння було виведено на основі деяких свідчень або припущень відносно того, який саме вплив здійснює густина популяції на розташування окремих особин; воно лише представляє собою найпростіший математичний опис певного типу росту.