Читайте также:
|
Вольтерр розглядав наступні рівняння, що описують взаємодію між видами жертви з густиною 
та знищуючим її хижаком з густиною 
:
.
В основі цього рівняння лежать, окрім розглянутих раніше, наступні припущення:
1. У відсутності хижацтва ріст численності жертви буде відбуватись у відповідності з логістичним рівнянням, з істинною швидкістю росту 
і місткістю середовища 
;
2. Швидкість виїдання жертви пропорційна добутку густин хижака та жертви.
Ці припущення справедливі в тому випадку, якщо особини одного або обох видів пересуваються випадковим чином, тобто якщо є деяка постійна ймовірність, що при зустрічі хижак вб’є жертву при тому, що часом, який витрачає хижак на поїдання жертви, можна знехтувати. Ці припущення подібні до тих, які приймаються в хімічній кінетиці для швидкості реакції, у ході якої дві молекули утворюють одну.
В будь-який момент часу 
стан системи повністю описується значеннями і : кожному стану системи відповідає деяка точка на площині 
, яка зветься фазовою площиною. Якщо кожній точці фазової площини ми можемо протиставити стрілку, яка вказує напрямок руху системи у цій точці, то з’єднавши ці стрілки одну з одною, отримаємо траєкторії, які вкажуть нам, як буде відбуватись рух системи. Побудуємо в фазовій площині лінії, для яких 
(стрілки паралельні вісі ординат) і 
(стрілки паралельні вісі абсцис):
, коли 
;
, коли 
.
Знаходимо точку спокою (рівноваги), коли 
одночасно. Для цього необхідно, щоб
; 
.
При цьому обов’язково додатній, але має додатне значення тільки у тому випадку, якщо 
, або 
; ця нерівність показує, що стан спокою, який відповідає співіснуванню хижака і жертви, може бути досягнутий лише у тому випадку, коли ємність середовища для жертви , достатньо велика, щоб популяція жертви могла прогодувати хижака.
Для того, щоб визначити динаміку системи методом ізоклін знаходимо траєкторію руху. Для цього відмітимо, що при 
значення 
додатне, а для 
– від’ємне. Крім того, для точок, що розташовані на площині вище лінії , значення 
, а для точок, що розташовані нижче цієї лінії – додатне. Це дає можливість знайти розташування стрілок, зображених на рис.5.2,а. На рис.5.2,б ці стрілки з’єднані між собою і утворюють траєкторію, що має вид спіралі, що намотується на точку спокою. Швидкість наближення
Рис.5.2
спіралі до точки спокою визначається величиною кута, утвореного лініями і (рис.5.3).
Рис.5.3
Ці доволі не суворі переконання, що базуються на геометричній ситуації для даних рівнянь можуть, бути підтверджені аналітично. Сенс спіралі, що закручена проти годинникової стрілки, означає, що чисельність і жертви і хижака коливається із амплітудою, що зменшується, причому коливання чисельності хижака відрізняються по фазі від коливань чисельності жертви.
Припустимо, що єдиним фактором, що обмежує чисельність жертви, є хижак: при цьому 
і у відсутності хижака чисельність жертви збільшується експотенціально. Поведінка такої системи показана на рис.5.4. Коливання чисельності відбувається з деякою постійною амплітудою, що залежить від початкових умов: у системі, що знаходиться в початковий момент близько до стану рівноваги, амплітуда коливань невелика, а у
Рис.5.4
системі, яка є від початку далекою від точки спокою, коливання будуть мати велику амплітуду. Подібна система називається консервативною, тому що для неї існує величина, яка не змінюється під час еволюції системи подібно тому, як залишається постійною енергія при простому гармонічному коливанні.
Рис.5.5
Член 
в рівнянні, виражає пригнічуючу дію, яку даний вид здійснює на свій власний ріст (наприклад, в результаті конкуренції), називається демпфіруючим. В екології головний фактор, що зменшує амплітуду коливань – це наявність подібних самопригнічуючих впливів. У рівняння для жертви включений демпфіруючий член, але в рівнянні для хижака такого члену немає, оскільки припускається, що чисельність хижака обмежується тільки кількістю, тобто чисельністю його жертви.
Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 45 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |