Читайте также:
|
|
Рассмотрим некоторые частные случаи разложения функции f (x) в степенной ряд. Например, степенной ряд
1 + x + x 2 + ¼ + xn +¼
является геометрическим рядом со знаменателем x и, согласно доказанному в примере 3, сходится при | x | < 1; его сумма равна , т.е. = 1 + x + x 2 + ¼ + xn +¼, (14)
Равенство (14) можно рассматривать как разложение функции в степенной ряд.
В качестве другого примера рассмотрим разложение в ряд функции . Заменяя в равенстве (14) x на - z, получим
= 1 - z + z 2 - ¼ + (-1) n zn +¼ (15)
при 0 £ | z | < 1. Проинтегрируем равенство (15):
Тогда
или
(16)
при | x | < 1.
При x = 1 разложение (16) принимает вид
(17)
но ряд (17) сходится, значит разложение (16) справедливо для всех x £ 1.
Аналогично, можно записать разложение в степенной ряд функции . Положим в (14) x = - z 2, тогда
= 1 - z 2 + z 4 - ¼ + (-1) n z 2 n +¼ (18)
Проинтегрировав левую и правую часть (18), получим
,
или =
= (19)
при | x | < 1.
Это разложение верно и при x = 1, т.к. ряд (19) при x = 1 сходится. Известно, что , но
=
т.е. можно вычислить значение числа p с любой степенью точности.
Полученные разложения функций и являются частными случаями. В общем виде разложение функций в степенной ряд решено Маклореном и Тейлором.
Дата добавления: 2015-02-22; просмотров: 33 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Рэй Брэдбери | | | А) Лексические нормы |