Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вид частного решения y* неоднородного уравнения в некоторых конкретных случаях

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

yⁿ+a_n-1(x)y^n-1+…+a₁(x)y’+a₀(x)y=0

Характеристическое уравнение

𝛌₁𝛌₂…𝛌_n- корни характеристического уравнения.

Общее решение

1. Все корни характеристического уравнения различные, тогда

Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например , решение можно записать в виде

2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например, 𝛌₁ имеет кратность k (остальные - простые), тогда

Если среди корней есть пары сопряженных корней кратности k, например , , решение можно записать в виде

Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и некоторого частного решения неоднородного уравнения.

Вид частного решения y* неоднородного уравнения в некоторых конкретных случаях

(P_m(x), P_l(x) - заданные многочлены степени m, l; Q_k(x), _k(x) - искомые многочлены степени не выше m, n)

1. f(x)=P_m(x)

a) число 0 не является корнем характеристического уравнения, тогда

y*= Q_m(x)

б) число 0 - корень кратности S характеристического уравнения:

y*=x^S Q_m(x)

2. f(x)= P_m(x)

a) число a не является корнем характеристического уравнения, тогда

y*= Q_m(x)

б) число a - корень кратности s характеристического уравнения:

y*=x^S Q_m(x)

3.

a) числа ±iβ не являются корнями характеристического уравнения, тогда

, n=

б) числа ±iβ - корни кратности S:

, n=

4.

a) Числа α±iβ не являются корнями характеристического уравнения, тогда

, n=

б) числа α±iβ - корни кратности S:

, n=

Задача Коши.

Она гласит: требуется найти решение y=y(x) данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y_0, где (x₀,y₀) - заданная точка плоскости (x,y).

Конечно, в каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение.

Если задача Коши имеет решение, то важно выяснить, единственно ли оно. Уже сейчас мы отметим важный факт: для дифференциального уравнения первого порядка в разрешенной относительно y’ форме

задача Коши имеет решение и притом единственное для любой точки (x₀,y₀) области G плоскости (x,y), если заданная на этой области функция непрерывна вместе со своей частной производной

Конечно, единственность решения задачи Коши надо понимать в том смысле, что если y(x) и y₁(x) суть ее решения, удовлетворяющие одному и тому же начальному условию , заданные соответственно на интервалах (a,b) и (c,d), то y(x)=y₁(x) на пересечении этих интервалов.

8) Вид общего решения ЛОДУ(таблица). Вид общего решения ЛОДУ

Пусть -фундаментальная система решений ДУ, тогда общее решение этого уравнения имеет вид

где С₁,С₂– произвольные постоянные.

9)В случае, если правая часть ДУ с постоянными коэффициентами имеет специальный вид, частное

решение y * неоднородного уравнения может быть найдено более простым способом: методом

неопределённых коэффициентов [1, стр. 362].

Правая часть ДУ имеет вид [1, стр. 362, случай 1]

поэтому частное решение ищем в виде

где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения,

n - порядок многочлена Pn (x),

- многочлен степени n, записанный с неопределёнными коэффициентами.

т.е.

На этот вопрос я ответа не нашёл. Может плохо сикал, но, боюсь, самим придётся.

10) Общее решение y ЛНДУ (2) есть сумма общего решения y ₀ соответствующего однородного уравнения ЛОДУ и любого частного решения неоднородного уравнения:

Таким образом, чтобы найти общее решение ЛНДУ, нужно найти общее решение соответствующего ЛОДУ и какое-нибудь частное решение ЛНДУ. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной.

Частное решение ЛНДУ можно найти методом вариации произвольных постоянных или методом подбора (метод неопределенных коэффициентов).

11) Схема решения задачи Коши для ЛНДУ

Алгоритм решения линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами (не уверен, что это именно то что нужно)!!!!!

y”+py’+qy=f(x)

1.	Найти y0 как решение соответствующего однородного уравнения y”+py’+qy=f(x) (с помощью характеристического уравнения).
2.	Найти одним из следующих двух методов: методом неопределенных коэффициентов (если правая часть ДУ f(x) имеет специальный вид); методом вариации произвольных постоянных (для любых правых частей f(x)); метод неопределенных коэффициентов значительно проще, потому к методу вариации прибегают только в случае, когда нельзя работать с неопределенными коэффициентами.
3.	Записать общее решение: y=y0+ .
4.	Найти частное решение, если поставлена задача Коши.   12) Метод исключения.Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.(поспрашивайте кого ещё, слишком маленький ответ, на мой взгляд)

13) Линейная система дифференциальных уравнений имеет вид:

, t ≥ 0 (2);

где матрицу и вектор-функцию обычно

считают непрерывными при t ≥ 0.

Устойчивость произвольного решения линейной системы (2) может быть

установлена на основе анализа устойчивости лишь одного нулевого решения,

причем более простой – однородной системы.

Для системы (2) выпишем соответствующую однородную систему

(3);

Линейная система (2) называется асимптотически устойчивой, если

асимптотически устойчивы все её решения.

Теорема 1. Асимптотическая устойчивость линейной системы (2) эквивалентна асимптотической устойчивости соответствующей однороднойсистемы (3). Однородная система (3) асимптотически устойчива тогда итолько тогда, когда асимптотически устойчивым является её

нулевое решение.

Следствие 2. Линейная система (2) асимптотически устойчива, если таковым является хотя бы одно решение этой системы.

Теорема 2. Линейная однородная система (3) асимптотически устойчива

тогда и только тогда, когда всякое её решение x = x(t) стремится к нулю при , т.е.

14)Комплексные числа: алгебраическая форма записи,переход к показательной форме, корень квадратный из комплексного числа.

Напишу сразу все три формы записи, чтобы косяков не вышло(вдруг решить спросить):

1)−алгебраическая форма записи

2)−тригонометрическая форма записи

3)−показательная форма записи

Формулы для расчёта(от себя, не по заданию):

J²= −1(мнимая единица)

Формула Эллера(полагаю, это и есть переход к показательной)

Корень квадратный:

Далее, я дам ссылки сайтов на которых я всё это нашёл, чтобы вы посмотрели, что да как:

http://fxdx.ru/page/kvadratnyj-koren-iz-kompleksnogo-chisla

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE#.D0.90.D0.BB.D0.B3.D0.B5.D0.B1.D1.80.D0.B0.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B0.D1.8F_.D1.84.D0.BE.D1.80.D0.BC.D0.B0

http://www.mathprofi.ru/sistemy_differencialnyh_uravnenij.html

http://xn--90abr5b.xn--p1ai/%D1%8D%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8B/%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BD/4/6.htm

http://www.math24.ru/second-order-linear-homogeneous-differential-equations-with-constant-coefficients.html

http://clubmt.ru/lec3/lec12.htm

http://www.pm298.ru/diffur4.php

http://twt.mpei.ac.ru/math/ODE/ODElin/ODElin_07060000.html

http://clubmt.ru/lec3/lec12.htm

http://matematik-master.ru/index.php/2011-07-29-12-32-28/194-2011-07-29-12-37-12

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8F%D0%BC

http://sernam.ru/lect_math3.php?id=5