Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Непрерывность элементарных функций.

Читайте также:
  1. Билет 35. Значение лимбической системы в регуляции различных функций.
  2. Вероятности результатов измерения координаты и импульса. Пространство волновых функций.
  3. Возникновение элементов самосознания. Усвоение элементарных правил общения с людьми и правил обращения с предметами. Возникновение стремления к обособлению. Кризис трех лет.
  4. Закон развития высших психических функций.
  5. Значение офтальмо-гигиенических условий для развития зрительных функций. Зрительныйакти его механизм.
  6. Значимость эмоций в жизни человека выражается в их функциях. В психологии принято выделять ряд функций.
  7. Интегралы от обратных тригонометрических функций.Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
  8. Искусство реализует ряд общественных функций.
  9. Мастер функции в эксель:математические,логические,текстовые..и тд.Вставка функций.2) вопрос создание сложного документа в ворд,виды списков,и создание списка в ворд.
  10. Математические модели и численные методы решения задач. Модели, приводящие к необходимости численного дифференцирования и интегрирования функций.

Основные теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность элементарных функций.

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Пусть функция f(x) и j(x) непрерывны на некотором множестве Х и х 0 – любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения F(x) = f(x) × j(x). Применяя теорему о пределе произведения, получим:

F(x) = (f(x) × j(x)) = f(x) × j(x) = f(x 0) × j(x 0) = F(x 0).

Итак, F(x) = F(x 0), что и доказывает непрерывность функции f(x) × j(x) в точке x 0.

Теорема 2. Пусть функции u = j(x) непрерывна в точке x 0, а функция у = f(u) непрерывна в точкеu0 = j(x 0). Тогда сложная функция f(j(x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x 0.

В силу непрерывности функции u = j(x), j(x) = j(x 0) = u0, т. е. при x ® x 0 имеем u ® u0. Поэтому вследствие непрерывности функции у = f(u) имеем:

f(j(x)) = f(u) = f(u0) = f(j(x 0)).

Это и доказывает, что сложная функция у = f(j(x)) непрерывна в точке x 0.

Теорема 3. Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на [a;b] оси О x, то обратная функция у = j(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [с;d] оси Оу (без доказательства).

Так, например, функция tg x = , в силу теоремы 1, есть функция непрерывная для всех значений x, кроме тех, для которых cos x = 0, т. е. кроме значений x = (p / 2) + p n, n Î Z.

Функции arcsin x, arctg x, arccos x, arcctg x, в силу теоремы 3, непрерывны при всех значениях x, при которых эти функции определены.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях x, для которых они определены.

Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операция взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

Пример. Найти 2ctg x.

Решение: Функция 2ctg x непрерывна в точке x = p / 4, поэтому 2ctg x = 2ctgp/4 = 2 1 = 2.

Вопрос №46




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав