Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции и - бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0

Вопрос№42

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Вопрос№41

Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .

Теорема: редел частного (отношения) двух бесконечно малых или бесконечно больших величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Вопрос№40

------------------повтор(вопроса47)

Вопрсо№38

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется член последовательности такой, что все члены последовательности , следующие за ним, отстоят от меньше, чем на .

Определение. Число называется пределом последовательности , если в любом открытом промежутке, содержащем число , содержатся все члены
последовательности , начиная с некоторого.

Теорема (о единственности предела). Если — предел последовательности и — предел последовательности , то .

Доказательство. Предположим, что . Возьмем . Найдется такой номер , что

также существует

Возьмем , которое больше и . Тогда

Обозначение. есть предел :

,

— стремится (сходится) к ,

Вопрос№39

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

(1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента, т.е. .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

если .

Вопрос№37

Преде́л фу́нкции —Функция имеет предел в точке если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

Вопрос №36

Точка называется предельной точкой подмножества в топологическом пространстве , если всякая проколотая окрестность точки имеет с непустое пересечение.

Для пространств , у которых все точки (одноточечные множества) замкнуты, есть равносильное определение: Точка называется предельной точкой подмножества , если всякая окрестность точки имеет с бесконечное число общих точек

Вопрос№ 33

Расстояние от точки до гиперплоскости определяется отрезком перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную гиперплоскость и ограниченного данной точкой пересечения этого перпендикуляра с данной гиперплоскостью.

Известно, что при ортогональном проецировании прямой, перпендикулярной к некоторой гиперплоскости Р, на взаимно-перпендикулярные гиперплоскости, проекции такой прямой перпендикулярны к плоскостным следам этой гиперплоскости на соответствующих гиперплоскостях.

На рис.4.4.1 представлены плоскостные следы Р_х Р_у Р_z и P_x P_y P_t гиперплоскости Р на координатных гиперплоскостях xyz и xyt соответственно, а также показан отрезок прямой АВ, перпендикулярной к гиперплоскости Р на наглядном аксонометрическом и ортогональном чертежах (на последних двух отрезок прямой задан проекциями).

При ортогональном проецировании проекции А_хуz В_хуz (рис.4.4.1,б), перпендикулярные к плоскостному следу Р_х Р_у Р_z, на координатные плоскости ху и хz и последующем образовании ортогонального чертежа получаем проекции А_хz В_хz и А_ху В_ху, перпендикулярные соответственно к следам Р_х Р_z и Р_хР_у гиперплоскости Р на координатных плоскостях xt и ху. Аналогично, при ортогональном проецировании проекции A_xyt B_xyt, перпендикулярной к плоскостному следу
P_x P_y P_t, на координатной плоскости ху, xt и последующем совмещении этих плоскостей для образования ортогонального чертежа получаем проекции A_xt B_xt и А_ху В_ху, перпендикулярные соответственно к следам P_x P_t и Р_хР_у гиперплоскости Р на координатных плоскостях xt и ху.

Если изобразить все это на разнесенном ортогональном чертеже, то получим изображение, представленное на рис.4.4.1,б. На этом чертеже горизонтальная проекция А_ху В_ху (для гиперплоскости xyt эта проекция упущена, т.к. она уже имеется в гиперплоскости xyz) перпендикулярна к следу Р_хР_у,проекция А_хzВ_хz перпендикулярна к следу Р_х Р_z и проекция A_xt B_xt к гиперплоскости xyt на координатной плоскости xt перпендикулярна к следу P_x P_t.

Таким образом, при построении прямой, перпендикулярной к заданной гиперплоскости Р и проходящей через заданную точку А, необходимо иметь в виду, что горизонтальная проекция
А_ху В_ху искомой прямой АВ перпендикулярна к горизонтальному следу гиперплоскости Р_хР_у, фронтальная проекция А_хz В_хz— к фронтальному P_x P_z следу и проекция A_xt B_xt — к следу P_x P_t.

Для определения расстояния от точки А до гиперплоскости Р (рис.4.4.1) следует найти точку пересечения, перпендикулярную к этой гиперплоскости. На ортогональном чертеже (рис.4.4.1,в) определена искомая точка путем заключения прямой АВ в проецирующую на координатную плоскость гиперплоскости å (ее след å _xt на координатной плоскости xt совпадает с проекцией прямой A_xt B_xt, на координатных плоскостях следы å _xy и å _xz расположены параллельно осям у и z, соответственно). Гиперплоскость å пересекает гиперплоскость Р по плоскости 123, которая пересекается с прямой АВ в точке В_хуz (В_хz В_ху), которая и является искомой. Более подробное описание заданных построений дано в главе III и иллюстрировано на рис.3.6.1. После того как будет определена точка пересечения перпендикуляра с заданной гиперплоскостью, искомое расстояние может быть найдено путем построения двух прямоугольников, как показано на
рис.4.2.1 и рис.4.2.2.

Если заданной гиперплоскостью является проецирующая гиперплоскость (рис.4.4.2, рис.4.4.3),
то решение задачи по определению расстояния от заданной точки А до этой гиперплоскости значительно упрощается.

Так (рис.4.4.2,б) из расположения проекций перпендикуляра к гиперплоскости Р следует, что этот перпендикуляр параллелен координатной плоскости xt, а значит, любой отрезок его проекции на эту плоскость выражает без искажения длину изображаемого отрезка четырехмерного пространства. Точкой пересечения перпендикуляра с заданной гиперплоскостью является точка пересечения проекции прямой со следом P_x P_t на координатной плоскости (см. рис.3.6.2).

Таким образом, длина проекции A_xt C_xt отрезка перпендикуляра на рис.4.4.2,б является искомым расстоянием от точки А до гиперплоскости Р.

Если заданной плоскостью является горизонтально-проецирующая гиперплоскость Q (рис.4.4.3), то длина, горизонтальной проекции А_ху С_ху является искомым расстоянием от точки А до гиперплоскости Q, так как перпендикуляр к такой гиперплоскости параллелен координатной плоскости ху.

Аналогично отмеченным двум случаям может быть найдено расстояние от данной точки до фронтально проецирующей плоскости и других проецирующих плоскостей.

Пользуясь методами изменения положения проекций, приведенными в 4.1 настоящей главы, задачу на определение расстояния от точки до гиперплоскости общего положения можно свести к одному из частных случаев, представленных на рис.4.4.2, рис.4.4.3, и тем самым решить ее. Рассмотрим такое решение.

На рис.4.4.4 заданы гиперплоскость Q общего положения и точка А. Требуется определить расстояние от точки до гиперплоскости Q. Если заданную гиперплоскость преобразовать во фронтально проецирующую, то расстояние от фронтальной проекции точки A до фронтального следа гиперплоскости будет равно искомому расстоянию.Преобразование плоскости общего положения Q во фронтально проецирующую способом перемены плоскостей проекций показано на рис.4.4.4. Ось проекций x₄₁ новой системы плоскости проекции xt - x' y' проведена перпендикулярно к следу q_xt плоскости Q. Точка пересечения следа q_xt с осью x₄₁ является новой точкой схода следов Q'_x плоскости Q. Для нахождения следа q'_xy, обладающего собирательным свойством (плоскости x' y' и xt взаимно перпендикулярны) плоскости Q_x K_xt H_xt в кооординатно гиперплоскости xyt, на следе q_xy взята произвольная точка Н_ху и спроектирована на плоскость x' y', а затем точки Q'_x и Н_ху соединены прямой. Прямые q_xt и q'_xy являются следами плоскости Q_xKH в системе проекций xt - x' y'. Чтобы определить след гиперплоскости Q, нужно построить в x' y' еще одну точку V_xz, принадлежащую следу q_xz. Проекция точки в x' y' будет точка V' _ху. Таким образом, следом гиперплоскости Q на координатной плоскости x' y' будет треугольник
Q'_x (Q'_x º K'_xy) H'_xy V'_xy. Последующим преобразованием х' у' ® х" z' приводим этот треугольник в проецирующее положение, т.е. имеем фронтально проецирующую гиперплоскость Q, ее след q'_xz собрал все точки данной гиперплоскости. Вместе с изменением положения гиперплоскости Q изменяем и положение проекции точки (см.рис.4.4.4). Расстояние от проекции А'_хz до следа
q'_xz — отрезок A'_xz B'_xz — есть искомое расстояние. Обратным преобразованием определены проекции точки А в координатных плоскостях x' y', xt, xz и ху. При этом проекция А'_ху B'_xy расположена параллельно оси х"₁₂, а проекция A'_xy B'_xy — оси x"₄₁. Проекция A_xt B_xt расположена и перпендикулярно следу q_xt. На рис.4.4.4 показано нахождение точки пересечения перпендикуляра A_xt B_xt с гиперплоскостью Q на основе заключения ее в проецирующую гиперплоскость å _xt. Кроме того, натуральная величина перпендикуляра определена и с помощью прямоугольных треугольников A_xy B_xy B'_xy и А_ху В'_ху В"_ху А_хуВ'_ху В"_ху, где А_хуВ_ху — есть натуральная величина перпендикуляра АВ.

Если бы в рассматриваемом построении гиперплоскость общего положения Q была задана не следами, а другим каким-либо способом, например, тремя пересекающимися прямыми Н, f, V, соответственно параллельными координатным плоскостям ху, xz, xt (рис.4.4.5), такое задание соответствует заданию гиперплоскостей следами, у нее три линии, определяющие следы
q_xy, q_xz, q_xt, параллельны (лежат) соответственно координатным плоскостям ху, xz, xt.

На рис.4.4.5 определена натуральная величина перпендикуляра, опущенного из точки D на гиперплоскость тремя вариантами замены плоскостей проекций. Во всех случаях натуральная величина одна и та же. Кроме того, замечаем, что перпендикуляр расположен перпендикулярно линиям уровня f, h, V соответственно на координатных плоскостях хz, ху, xt.

Если гиперплоскость общего положения задана четырехгранником (рис.4.4.6), то для того, чтобы опустить перпендикуляр из точки D на данную гиперплоскость, необходимо ее перезадать линиями уровня f, Н, V. Сначала зададим прямую V параллельно координатной плоскости xt. Прямая параллельна координатной плоскости, если у нее координаты по двум осям равны, т.е. для прямой V должно быть равенство координат по осям у и z. Проводим через точку С проекции прямой
V_xy и V_хz в координатных плоскостях ху и хz. По определению "прямая принадлежит гиперплоскости, если она принадлежит плоскости, лежащей в этой гиперплоскости" определяем третью проекцию. Для этого проекцию V_ху заключаем в проецирующую гиперплоскость, которая пересекает данную гиперплоскость по плоскости 1-2-С. Определяем проекции этой плоскости на координатных плоскостях хz и xt и уже в ней находим прямую, параллельную плоскости xt, подобно начертательной геометрии трехмерного пространства. Аналогично определяем прямые уровня Н и f. На рис.4.4.6 прямые уровня Н, f и V отнесены вправо, где построен перпендикуляр к гиперплоскости и найдена точка пересечения К. Натуральная величина перпендикуляра может быть определена методом прямоугольных треугольников или заменой плоскостей проекций.

На рис.4.4.7 показано преобразование гиперплоскости общего положения, заданного четырехгранником, в проецирующее положение, и определена натуральная величина перпендикуляра, опущенного из точки D на данную гиперплоскость.

Гиперплоскость ABCD перезадаем линиями уровня Н, f и V. Ось новой системы плоскостей проекций проводим перпендикулярно горизонтали h на горизонтальной плоскости ху (аналогично можно делать и по отношению к линиям f и V соответственно на координатных плоскостях х z и xt). Строим новую проекцию гиперплоскости в плоскости х' z' (х' z' ^ xу). Следующим преобразованием (ось х"₂₄ проводим перпендикулярно линии V'_xz)приводим гиперплоскость ABCS в проецирующее положение. Из проекции точки D'_xt проводим перпендикуляр на прямую A'_xt C'_xt B'_xt S'_xt, выражающую проекцию гиперплоскости на плоскости x"t'. Точка пересечения данного перпендикуляра с данной прямой будет точкой пересечения перпендикуляра с данной гиперплоскостью, а длина отрезка D'_xt K'_xt будет натуральной величиной перпендикуляра.

Гиперплоскость общего положения можно преобразовать в проецирующую гиперплоскость, а следовательно, и определить расстояние от точки до данной гиперплоскости методом вращения вокруг проецирующей оси. На рис.4.4.8 последовательным вращением вокруг горизонтально проецирущей оси i' и " xt - проецирующей " оси i" гиперплоскость ABCS приведена во фронтально проецирующее положение. При этом первое вращение производим так, чтобы линия уровня h была перпендикулярна оси х, а второе — так, чтобы линия уровня V была перпендикулярна оси х. Гиперплоскость ABCS при втором вращении спроецировалась на координатную плоскость хz в линию. Перпендикуляр, опущенный из проекции D"_xz точки D до пересечения с проекциями гиперплоскости, есть натуральная величина.

Вопрос№32

Вопрос№31

Вопрос№30

Вопрос№29

-паралеьности

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

(10)

Вопрос№28