Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Признак Коши-Адамара.

Если конечный или бесконечный верхний предел , то ряд сходится (расходится).

Доказательство. В первом случае выберем число . Числа K_n<q<1 при достаточно больших номерах. По достаточному признаку Коши, ряд сходится. Во втором случае есть подпоследовательность сходящаяся к верхнему пределу K > 1. Значит, при достаточно больших номерах р числа , последовательность a_n не является бесконечно малой, ряд расходится.

Признак Раабе.

Если при достаточно больших номерах величина то ряд сходится (расходится).

Предельная форма.

Интеграл 1-го рода, понятие, свойства, сходимость.

Пусть функция f(x) определена при , имеет определенные интегралы . Если существует конечный или бесконечный предел , то он называется несобственным интегралом 1-го рода. Пусть функция f(x)>0 всюду. Тогда функция Ф(b) – возрастающая, и этот предел существует. Если он конечный, то говорят, что интеграл сходится. В противном случае – расходится. В любом случае .

Для сходимости интеграла необходима и достаточна ограниченность функции Ф, для расходимости – ограниченность.

Если известна первообразная F для функции f, то

Интегральный признак сходимости положительного ряда

Пусть непрерывная невозрастающая функ. f(x)>0 определена при . Тогда поведение ряда одинаково.

Доказательство. Достаточно доказать, что из сходимости ряда следует сходимость интеграла, и наоборот. Сходимость интеграла доказывается через теорему о среднем. Так же то, что сама функция увеличивается имеем то, что она ограничена сверху, следовательно сходится к конечному пределу, следовательно интеграл сходится.

Абсолютная сходимость рядов.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Для абсолютной сходимости ряда, очевидно, необходима и достаточна ограниченность последовательности его частичных сумм . Из абсолютной сходимости следует и обычная сходимость, но наоборот не действует.

Признаки сравнения абсолютно сходящихся рядов.

1) Если при достаточно больших номерах и ряд сходится, то ряд сходится абсолютно.

2) Если существует конечный предел абсолютно сходится, то ряд тоже сходится абсолютно. Если значение c>0, то верно и обратное утверждение.

3) Если ряд абсолютно сходится и при достаточно больших номерах , то ряд абсолютно сходится.

4)

Достаточные признаки абсолютной сходимости.