Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Интегральный признак.

Если непрерывная возрастающая функция f(x)>0 определена при a>0, значение , интеграл сходится, то ряд сходится абсолютно.

Условная сходимость.

Знакопеременный ряд (он же просто ряд) называют сходящимся условно, если он сходится, а ряд расходится.

Признак Лейбница.

Если последовательность элементов b_n монотонно стремится к нулю, то есть , то ряд сходится.

Доказательство. Берем знакочередующийся ряд(самый простой, в котором тупо плюсы и минусы между слагаемыми чередуются). Рассмотрим частичные суммы S_2n+1 данного ряда. Сгруппировав слагаемые особым образом, имеем каждая из скобок заведомо больше нуля и положительна, а значит данные частичные суммы не убывают и ограничены сверху, а значит, сходятся к некоторому значению, которые мы обозначим S. Для остальных частичных сумм, ввиду бесконечной малости элементов, имеем . Итак, последовательность частичных сумм, а значит и ряд, сходятся.

Тождество Абеля.

Рассмотрим не только знакочередующиеся ряды. Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм следующего вида: . Введем в рассмотрение частичные суммы элементов b_k: .Теперь выразим элементы b_k через данные частичные суммы и подставим их в S_n: . Раскроем скобки в полученной сумме и сгруппируем слагаемые, вынося за скобки B_k. Окончательно имеем:

Такое преобразование сумм называется преобразованием Абеля; оно является аналогом формулы интегрирования по частям.

Признак Дирихле.

Пусть для двух последовательностей элементов a_n и b_n выполняются следующие условия:

- последовательность частичных сумм ограничена;

- при достаточно больших номерах последовательность ;

Тогда ряд сходится.

Доказательство. Из 2-го условия следует, что при достаточно больших номерах . Обозначим верхнюю границу частичных сумм . Чтобы установить сходимость нашего ряда при данных условиях, проверим выполнение условий критерия Коши. Применим к оценке отрезка ряда при m>n>N(E) тождество Абеля и неравенство треугольника, и получим, что отрезок ряда произведений бесконечно мал, следовательно, искомый ряд сходится.

Теорема Дирихле-Абеля.

Пусть для двух последовательностей элементов a_n и b_n выполняются следующие условия:

- ряд сходится

- при достаточно больших номерах последовательность

Тогда ряд сходится.

Доказательство. Сходимость ряда означает, что по определению, сходимость последовательности частичных сумм и, следовательно, ее ограниченность. По признаку Дирихле ряд сходится.

Признак Абеля.

Пусть для двух последовательностей элементов a_n и b_n выполняются следующие условия:

- ряд сходится

- при достаточно больших номерах последовательность b_n ограничена и монотонна

Тогда ряд сходится.

Доказательство. Монотонная ограниченная переменная , поэтому монотонно. Тогда исходный ряд можно представить в виде суммы двух сходящихся рядов: .

Перестановка положительных и абсолютно сходящихся рядов.

Сходящийся ряд допускает перестановку, если результатом любой перестановки его элементов является ряд, сходящийся к сумме S.

Рассмотрим сначала перестановку относительно положительных рядов.

Пусть ряд сходится к сумме А, а ряд получен в результате перестановки. Зафиксируем номер n. В частичной сумме элементов элементам b_k соответствуют некоторые элементы первого ряда. Среди номеров найдем максимальный m=max{n_k}, . Поскольку частичные суммы содержат все элементы частичных сумм и, возможно, еще какие-то слагаемые, то . Тогда последовательность частичных сумм положительного ряда ограничена сверху, а значит сходится к некоторой сумме . В силу взаимности перестановки (обратно от ряда к ряду ), имеем еще одно неравенство: , но тогда . Тем самым доказана возможность перестановки.

Теперь рассмотрим абсолютно сходящиеся ряды.

Покажем, что абсолютно сходящийся ряд равен разности сходящихся положительных рядов. Рассмотрим ряд . Введем в рассмотрение две неотрицательные последовательности a_n, b_n (положительная и отрицательная части ряда):

Обратим внимание на два последних неравенства. Согласно признаку сравнения положительных рядов, ряд сходится к некоторой сумме, обозначим ее А. Аналогично, ряд сходится к некоторой сумме В. Так как сходящиеся ряды обладают арифметическими свойствами, то . То же происходит и с рядами, полученными в результате перестановки ряда элементов c_n, так как положительные ряды допускают перестановку.

Теорема Римана[1].

Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число L конечное или бесконечное, можно так переставить члены ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к L.

Умножение абсолютно сходящихся рядов.

Пусть заданы сходящиеся ряды . Все произведения a_i*b_k выстроим произвольным образом в последовательность . Ряд называется рядом произведения .

Теорема.

Если ряды абсолютно сходятся и имеют суммы А, В, то ряд произведений абсолютно сходится и имеем сумму А*В,

Функциональные последовательности и ряды.

Определение. Пусть задано некоторое множество Х и каждому числу ставится в соответствие по определенному закону некоторая функция f_n(x), заданная на множестве Х, тогда будем говорить, что задана функциональная последовательность {f_n(x)}. Функции f_n(x) являются элементами последовательности, множество Х – область определения последовательности.

Определение. Множество всех точек х, на которых сходится функциональная последовательность {f_n(x)}, называется областью сходимости. Функцию будем называть предельной функцией.

Определение. Пусть на некотором множестве Х задана функциональная последовательность {f_n(x)}. Составим новую последовательность частичных сумм {S_n(x)} следующим образом: .

Получившуюся последовательность будем называть функциональным рядом и обозначить . Функции f_n(x) – элементы ряда, суммы вида - отрезок ряда. Далее для краткости обозначать буду . Как и в случае с числовыми рядами и последовательностями, для функциональных рядов и последовательностей справедливы общие понятия, связанные со сходимостью и абсолютной сходимостью и т.д.

Равномерная сходимость.

Определение. Последовательность {f_n(x)} сходится равномерно к функции f(x) на множестве Х, если .

Существенное отличие равномерной сходимости от обычной сходимости состоит в том, что номер N в утверждении зависит только от и не зависит от х. Иными словами, для любого найдется универсальный номер , начиная с которого неравенство справедливо для всех . Естественно из равномерной сходимости следует обычная сходимость, обратное утверждение неверно.

Определение. Ряд сходится равномерно на множестве Х, если .

Лемма. Для равномерной сходимости функционального ряда (последовательности) на множестве Х необходима и достаточна сходимость .

Критерий Коши равномерной сходимости.

Определение. Функциональный ряд (функциональная последовательность S_n(x)) равномерно сходится в себе на множестве Х, если

Критерий Коши равномерной сходимости. Условия равномерной сходимости и равномерной сходимости в себе эквивалентны.

Доказательство. Пусть имеет место равномерная сходимость . Тогда для номеров m>n>N() выполняются неравенства . Итак, из равномерной сходимости следует равномерная сходимость в себе.

Обратно, пусть имеет место равномерная сходимость. Зафиксируем . Для номеров m>n>N() модуль . По критерию Коши для числовой последовательности, существует конечный предел . Фиксируем номер n в последнем неравенстве и устремим , тогда при , сходимость равномерная.

Достаточный признак Вейерштрасса.

Теорема. Пусть при справедлива оценка модулей элементов функционального ряда элементами , такими, что ряд сходится, тогда ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве Х.

Доказательство. Абсолютная сходимость данного ряда вытекает из первого признака сравнения. Докажем равномерную сходимость. Для этого рассмотрим отрезок ряда и установим его равномерную сходимость в себе:

По критерию Коши, ряд сходится равномерно.

Достаточный признак Дирихле равномерной сходимости.

Теорема. Пусть на множестве Х для последовательностей функций , выполняются следующие условия:

- на множестве Х последовательность частичных сумм равномерно ограничена.

- при достаточно больших номерах равномерно,

Тогда ряд сходится равномерно на множестве Х.

Доказательство. Обозначим константу для равномерной ограниченности . Если зафиксировать аргумент х и обозначить , то можно будет применить неравенство, которое было установлено при доказательстве достаточного признака Дирихле сходимости числового ряда:

, тогда здесь . В силу последнего неравенства, из равномерной сходимости следует равномерная сходимость в себе отрезка функционального ряда. По критерию Коши, функциональный ряд произведений равномерно сходится.

Следствие 1. Пусть на множестве Х для последовательностей функций и чисел выполняются следующие условия:

1) на множестве Х последовательность частичных сумм равномерно ограничена.

2) При достаточно больших номерах сходится равномерно на множестве Х.

Следствие 2. Пусть на множестве Х для последовательностей чисел и функций выполняются следующие условия:

- последовательность частичных сумм ограничена

- при достаточно больших номерах равномерно, тогда ряд сходится равномерно на множестве Х.

Достаточный признак Абеля равномерной сходимости.

Тождество Абеля. Пусть задана числовая последовательность a_k. Для фиксированного номера n и любых номеров введем обозначение . Тогда и выполняется тождество Абеля при m>n:

Лемма. Если имеют место отношения , то справедливо неравенство Абеля: .

Теорема. Пусть на множестве Х для последовательностей функций f_n(x), g_n(x) выполняются следующие условия:

- на множестве Х ряд равномерно сходится,

- при достаточно больших номерах , равномерно ограничена, тогда ряд сходится равномерно на множестве Х.

Доказательство. Пусть . Т.к. ряд сходится равномерно, то для него, согласно критерию Коши равномерной сходимости, справедливо утверждение, что . Согласно неравенству Абеля, справедлива оценка отрезка ряда . Согласно критерию Коши равномерной сходимости, ряд произведений сходится равномерно на множестве Х.

Следствие 3. Пусть на множестве Х для последовательностей функций и чисел выполняются следующие условия:

- на множестве Х ряд равномерно сходится

- при достаточно больших номера последовательность b_n ограниченная и монотонная

Тогда ряд сходится равномерно на множестве Х.

Следствие 4. Пусть на множестве Х для последовательностей чисел и функций a_n, g_n(x) выполняются следующие условия:

- ряд сходится

- при достаточно больших номерах равномерно ограничена,

Тогда ряд сходится равномерно на множестве Х.

Переход к приделу под знаком функционального ряда.

Пусть Х – область сходимости, точка а – предельная точка Х.

Определение. Точка а – предельная точка Х, если

Определение. Пусть существует конечные пределы , сходятся ряды . Если существует предел , то говорят, что возможен переход к пределу под знаком ряда.

Другими словами, попроще:

Теорема 1. Если существует конечные пределы и вблизи точки а функциональный ряд равномерно сходится, то числовой ряд сходится и предельный переход к пределу под знаком ряда возможен.

Теорема 1-1. Если функциональная последовательность {f_n(x)} сходится равномерно на множестве Х к предельной функции f(x) и если существуют пределы , то и предельная функция имеет в этой точка предел, причем

Непрерывность суммы ряда.

Теорема 2. Сумма равномерно сходящегося ряда (предел равномерно сходящийся последовательности) непрерывных функций является непрерывной функцией.

Доказательство. Проведем доказательство для ряда по теореме 1,

Почленное интегрирование и дифференцирование функционального ряда.

Пусть интегрируемые функции f_n(x) определены на отрезке [ a,b] и функциональный ряд сходится.

Определение. Если для функции S(x) существует определенный интеграл , то говорят, что возможно интегрирование под знаком ряда.

Теорема 3. Если функциональный ряд непрерывных функций равномерно сходится, то его можно интегрировать под знаком ряда.

Доказательство. По теореме 2, функция S(x) непрерывна. Из непрерывности функций S(x), S_n(x) следует непрерывность остатка R_n(x)=S(x)-R_n(x), следовательно все эти функции интегрируемы.

Тогда .

Так как остаток ряда равномерно стремится к нулю, то справедливо утверждение:

Поскольку .

Последнее утверждение и показывает, что числовой ряд сходится к сумме .

Дифференцирование под знаком ряда(почленное дифференцирование).

Определение. Если для сходящегося ряда существует производная суммы, равная ряду производных , то говорят, что возможно дифференцирование под знаком ряда.

Теорема 4. Если на промежутке определены гладкие функции , ряд сходится к функции S(x), ряд производных сходится равномерно, то функция S(x) – гладкая и возможно дифференцирование под знаком ряда на этом промежутке.

Доказательство. Будем действовать на отрезке [ a, x], содержащемся в данном промежутке. Обозначим сумму . По теореме 2 эта функция – непрерывна. По теореме 3 эту функцию можно интегрировать почленно:

Итак, функция S(x) – гладкая и ее производная равна сумме ряда производных f ’_n(x).

Степенные ряды.

Определение и теорема об области сходимости.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд следующего вида . Для краткости будем обозначать его .

Введем величину

1) Если К=0, К₀<1, ряд абсолютно сходится при всех х.

2) Если К= , ряд расходится при всех .

3) Если , то ряд абсолютно сходится при К₀<1 и расходится при K₀>1.

Введем величину R=1/K, считая ее равной или 0 в первом и втором случаях соответственно. Эта величина называется радиусом сходимости. Тем самым доказана лемма, приведенная ниже.

Лемма. Существует такая величина , что:

- если , то ряд абсолютно сходится всюду;

- если R=0, то ряд сходится только при х=0;

- если 0<R< , то ряд абсолютно сходится при |x|<R и расходится при |x|>R.

Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости. Видно, что на его концах поведение ряда может быть различным. Тем самым доказана следующая теорема:

Теорема. Областью сходимости степенного ряда степенного ряда является один из промежутков: 0, (-R;R), [-R;R], (-R;R], [-R;R), , где радиус сходимости удовлетворяет равенству .

Ясно, что в общем случае, для ряда областью сходимости является промежуток (a -R, a +R).