Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вычисление радиуса сходимости.

Читайте также:
  1. Анализ связи парной корреляции. Вычисление параметров уровня регрессии.
  2. Взаимная индукция. Взаимная индуктивность. Вычисление взаимной индуктивности двух соленоидов.
  3. Вычисление абсолютной и относительной линейных невязок и их распределение в замкнутом теодолитном ходе. Вычисление координат.
  4. Вычисление арифметических выражений
  5. Вычисление выражения по обратной польской записи
  6. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
  7. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
  8. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
  9. Вычисление интеграла с заданной точностью
  10. Вычисление интегралов.

Метод Коши: R=1/K, (если существует этот самый предел).

По Даламберу (также, если существует этот самый предел).

Равномерная сходимость степенного ряда.

Отрезок [ a,b] входящий (-R;R) будем называть внутренним. Ясно, что существует такое число r: 0<r<R, что [ a, b] входит в [-r,r] который входит в (-R,R).

Теорема 1. На внутреннем отрезке степенной ряд сходится равномерно.

Доказательство. Если сходится абсолютно, так как точка r находится в интервале сходимости. Итак, по достаточному свойству Вейерштрасса, ряд сходится равномерно на отрезке [-r; r] и, следовательно, на [ a;b].

Почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда.

Вначале заметим, что ряды отличаются друг от друга только сомножителем х, поэтому их поведение одинаково и они имеют один и тот же радиус сходимости. Кроме того, вспомним утверждение о верхнем пределе числовой последовательности: .

Теорема 2. На интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать под знаком ряда . Радиусы сходимости этих рядов одинаковы.

Доказательство. Обозначим радиусы сходимости этих рядов, соответственно, как R, R1. По Коши, . Пусть теперь точка х – произвольная фиксированная точка интервала сходимости. Ясно, что существует такая величина r, что . По теореме 1, на внутреннем отрезке [-r; r] степенные ряды сходится равномерно. Члены степенного ряда – гладкие функции. Тогда, по теореме 4 о дифференцирования функционального ряда, можно дифференцировать под знаком степенного ряда.

Кроме заключения, из теоремы 2 также следует, что сумма степенного ряда имеет производные любого порядка. Такие функции называются бесконечно дифференцируемыми или аналитическими.

Поскольку из дифференцируемости следует непрерывность, то справедлива следующая теорема. Теорема 3. Сумма степенного ряда на интервале сходимости является непрерывной функцией.

Теорема 4. На интервале сходимости степенной ряд можно интегрировать под знаком ряда: Радиусы сходимости этих рядов одинаковы.

Доказательство. Возможность интегрирования под знаком ряда следует из непрерывности функций cntn и равномерной сходимости степенного ряда на внутреннем отрезке [0, x] в силу теоремы 3 об интегрировании функционального ряда. Обозначим радиус сходимости ряда Тогда,

Разложение логарифма в степенной ряд.

Рассмотрим ln(1+x) как интеграл с переменным верхним пределом: Поскольку подынтегральная дробь является суммой степенного ряда с радиусом сходимости R=1, то при |x|<1 переменная находится в интервале сходимости ряда. По теореме 4, возможно интегрирование под знаком ряда, тогда .

Этот ряд сходится быстрее ряда элементов геометрической прогрессии.

Разложение арктангенса в степенной ряд.

Аналогично предыдущему случаю имеем: . Обозначим z=t2, ряд сходится при . После интегрирования под знаком ряда, получаем:

Для приближенного вычисления арктангенсов при x>1, используют формулу:

Разложение арксинуса в степенной ряд.

Степенной ряд для .

Тогда представим . Поскольку , то возможно интегрирование под знаком ряда:

Ряд Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет производные любого порядка на некотором промежутке, содержащем в себе точку а.

Определение. Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд Если ряд сходится, то, как легко проверить, он является рядом Тейлора своей суммы.

Рассмотрим обратную задачу. Пусть задана бесконечно дифференцируемая функция и составлен ее ряд Тейлора. Сходится ли этот ряд, а если сходится, то совпадает ли его сумма с заданной функцией? Там в лекциях какая то магия происходит, и делается вывод, что бесконечной дифференцируемости функции еще недостаточно для ее разложимости в ряд Тейлора.




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 26 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав