Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Читайте также:
  1. Callback-функции;
  2. I. Понятие, структура и функции религии. Социологические теории религии.
  3. I. Работы с тяжелыми и вредными условиями труда
  4. I. СИСТЕМА ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ В СОВРЕМЕННЫХ УСЛОВИЯХ
  5. II. Работы с особо тяжелыми и особо вредными условиями труда
  6. III. УСЛОВИЯ И СРОКИ ПРОВЕДЕНИЯ КОНКУРСА
  7. III. Условия реализации учебной практики
  8. IV.5.1. Условия проведения контрольного эксперимента
  9. N3 Функции философии
  10. V. Порядок организации и условия проведения Конкурса

Пусть функция f(x) на отрезке [-r; r] имеет производные любого порядка. По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа , где Пусть последовательность производных равномерно ограничена: . Тогда для остатка справедлива оценка равномерно, т.е. ряд Тейлора равномерно сходится к функции f(x). Кроме того, он сходится и абсолютно, т.к. мажорируется сходящимся рядом Имеющимися рассуждениями доказана теорема, приведенная ниже.

Теорема. Если на отрезке [-r; r] функция f(x) бесконечно дифференцируема, последовательность n-ых производных равномерно ограничена, то функция разлагается в ряд Тейлора , который сходится абсолютно и равномерно.

Разложение в степенной ряд функций ex, sin(x), cos(x), sh(x), ch(x).

1) Рассмотрим на отрезке [-r; r]. Так как , справедлива оценка для остатка .

2) Рассмотрим . Поскольку , а значение sin(x), cos(x) достаточно знать для углов , так как все остальные значения вычисляются по ним с помощью формул приведения, то Оценка остатка будет иметь вид .

3) Для косинуса те же рассуждения, что и для синуса, разница только в оценках:

4) Разложение для Sh(x), Ch(x) найдем вычитая и складывая половины от разложений ex, e-x:

Биноминальный ряд.

Рассмотрим ряд Тейлора для бинома f(x)=(1+x)m, x>-1, где показатель не является целым неотрицательным. Производная:

. (2)

При n>m, x<0 не ограничена, поэтому не выполняются указанные выше достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Коэффициенты Тейлора:

Отличны от нуля при всех n и удовлетворяют равенству .

Ряд Тейлора для бинома имеет вид .

 

Несобственные интегралы 1-го рода.

Определение. Пусть функция f(x) определена при и имеет определенные интегралы . Эти интегралы называются частными. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом 1-го рода и обозначается , при этом говорят, что интеграл сходится. В противном случае – расходится.

Свойства несобственного интеграла:

1) Для сходимости интеграла на луче [ a, необходима и достаточна его сходимость на лучах при любом с> a. При этом

2) Из сходимости следует сходимость .

Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.

1) Метод двойной подстановки. Пусть известна такая функция F(x), что F’(x)=f(x) при , тогда .

2) Интегрирование по частям

3) Метод замены переменной. , тогда

 

Критерий Коши сходимости интеграла.

Вначале вспомним кое что из теории пределов. Для существования конечного предела функции F(x) на бесконечности ) необходимо и достаточно по критерию Коши, чтобы |F(c)-F(b)|->0 при . Здесь частный интеграл .

Теорема. Для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы

 

Критерий сходимости интеграла от положительной функции.

Пусть при функция , тогда частный интеграл является неубывающей функцией. По критерию существования конечного предела монотонной функции на бесконечности, функция должна быть ограниченной. Итак,

Теорема. Если , то для сходимости интеграла необходима и достаточна ограниченность множества всех частных интегралов.

Признаки сравнения интегралов от положительных функций.

1) Пусть при достаточно больших х . Тогда если . Доказательство. Проводится аналогично соответствующему признаку сравнения для числовых положительных рядов, с применением критерия сходимости интеграла.

2) Пусть существует предел .

3) Пусть при достаточно больших х. Тогда если

 

Абсолютная сходимость и абсолютная сходимость интеграла

Определение. Интеграл будем называть абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Так же, как и для числовых рядов, из абсолютной сходимости следует сходимость (это так же доказывается по критерию Коши). При этом справедлива оценка .

Признаки сходимости абсолютно сходящихся интегралов.

1)

2) Если существует конечный предел сходится абсолютно, то тоже сходится абсолютно.

3) Если a >0, p>1, при достаточно больших х, то интеграл сходится абсолютно.

 

Достаточный признаки сходимости Дирихле-Абеля.




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 57 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав