Читайте также:
|
|
Пусть функция f(x) на отрезке [-r; r] имеет производные любого порядка. По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа , где Пусть последовательность производных равномерно ограничена: . Тогда для остатка справедлива оценка равномерно, т.е. ряд Тейлора равномерно сходится к функции f(x). Кроме того, он сходится и абсолютно, т.к. мажорируется сходящимся рядом Имеющимися рассуждениями доказана теорема, приведенная ниже.
Теорема. Если на отрезке [-r; r] функция f(x) бесконечно дифференцируема, последовательность n-ых производных равномерно ограничена, то функция разлагается в ряд Тейлора , который сходится абсолютно и равномерно.
Разложение в степенной ряд функций ex, sin(x), cos(x), sh(x), ch(x).
1) Рассмотрим на отрезке [-r; r]. Так как , справедлива оценка для остатка .
2) Рассмотрим . Поскольку , а значение sin(x), cos(x) достаточно знать для углов , так как все остальные значения вычисляются по ним с помощью формул приведения, то Оценка остатка будет иметь вид .
3) Для косинуса те же рассуждения, что и для синуса, разница только в оценках:
4) Разложение для Sh(x), Ch(x) найдем вычитая и складывая половины от разложений ex, e-x:
Биноминальный ряд.
Рассмотрим ряд Тейлора для бинома f(x)=(1+x)m, x>-1, где показатель не является целым неотрицательным. Производная:
. (2)
При n>m, x<0 не ограничена, поэтому не выполняются указанные выше достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Коэффициенты Тейлора:
Отличны от нуля при всех n и удовлетворяют равенству .
Ряд Тейлора для бинома имеет вид .
Несобственные интегралы 1-го рода.
Определение. Пусть функция f(x) определена при и имеет определенные интегралы . Эти интегралы называются частными. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом 1-го рода и обозначается , при этом говорят, что интеграл сходится. В противном случае – расходится.
Свойства несобственного интеграла:
1) Для сходимости интеграла на луче [ a, необходима и достаточна его сходимость на лучах при любом с> a. При этом
2) Из сходимости следует сходимость .
Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.
1) Метод двойной подстановки. Пусть известна такая функция F(x), что F’(x)=f(x) при , тогда .
2) Интегрирование по частям
3) Метод замены переменной. , тогда
Критерий Коши сходимости интеграла.
Вначале вспомним кое что из теории пределов. Для существования конечного предела функции F(x) на бесконечности ) необходимо и достаточно по критерию Коши, чтобы |F(c)-F(b)|->0 при . Здесь частный интеграл .
Теорема. Для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы
Критерий сходимости интеграла от положительной функции.
Пусть при функция , тогда частный интеграл является неубывающей функцией. По критерию существования конечного предела монотонной функции на бесконечности, функция должна быть ограниченной. Итак,
Теорема. Если , то для сходимости интеграла необходима и достаточна ограниченность множества всех частных интегралов.
Признаки сравнения интегралов от положительных функций.
1) Пусть при достаточно больших х . Тогда если . Доказательство. Проводится аналогично соответствующему признаку сравнения для числовых положительных рядов, с применением критерия сходимости интеграла.
2) Пусть существует предел .
3) Пусть при достаточно больших х. Тогда если
Абсолютная сходимость и абсолютная сходимость интеграла
Определение. Интеграл будем называть абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Так же, как и для числовых рядов, из абсолютной сходимости следует сходимость (это так же доказывается по критерию Коши). При этом справедлива оценка .
Признаки сходимости абсолютно сходящихся интегралов.
1)
2) Если существует конечный предел сходится абсолютно, то тоже сходится абсолютно.
3) Если a >0, p>1, при достаточно больших х, то интеграл сходится абсолютно.
Достаточный признаки сходимости Дирихле-Абеля.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 57 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |