Читайте также:
|
|
Теорема. Пусть функции f(x), g(x) определены при , причем f(x) – непрерывна, g(x) – гладкая. Тогда, если выполняются следующие условия:
- множество интегралов ограничено;
- производная g’(x) знакопостоянна при достаточно больших х,
Тогда интеграл сходится.
Главное значение несобственного интеграла 1-го рода по Коши.
Определение. Пусть функция f(x) определена на прямой и интегрируема на каждом отрезке, принадлежащем этой прямой. Будем говорить, что функция f(x) интегрируема по Коши, если существует предел . Этот предел будем называть главным значением несобственного интеграла от функции f(x) в смысле Коши и обозначать .
Когда мы рассматривали определенные интегралы от четных и нечетных функций на отрезке вида [- a; a ]. Из полученных выше результатов следует, что, если функция f(x)- нечетная, то , если f(x)- четная, то
Несобственный интеграл 2-го рода, понятие и основные свойства.
Определение. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале [ a; b) и не ограничена вблизи точки b, которую в этом случае будем называть особой. Пусть для любого существуют определенные интегралы , которые будем называть частичными интегралами. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом 2-го рода и обозначается
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла 2-го рода.
Несобственный интеграл 2-го рода сходится тогда и только тогда, когда имеет место следующее утверждение:
Абсолютная сходимость и сравнение.
Определим абсолютную сходимость так же, как обычно – сходимость интеграла от модуля функции. Признаки сравнения аналогичны приведенным выше для несобственного интеграла 1-го рода. Приведенные здесь признак – это признак абсолютной сходимости, содержащий степенную функцию.
1) Если , то интеграл абсолютно сходится. (В частности, если ).
2) Если , то интеграл расходится.
(В частности, если при ).
Так же, как и для несобственного интеграла 1-го род, дли интегралов 2-го рода могут быть сформулированы признаки Дирихле и Абеля.
Главное значение несобственного интеграла 2-го рода по Коши.
Определение. Пусть функция f(x) определена на отрезке [ a, b], кроме, быть может, особой точки . Будем говорить, что эта функция интегрируема по Коши, если существует . Его значение будем называть главным значением несобственного интеграла от функции f(x) в смысле Коши и будем обозначать его .
Вычисление несобственного интеграла 2-го рода.
1) Метод двойной подстановки. Если существует конечный или бесконечный предел F(b-0), то . В случае, если функция F(x) определена и непрерывна в точке b, то .
2) Метод интегрирования по частям. Смотреть формулу для определенного интеграла.
3) Метод замены переменной. В результате применения замены может возникнуть несобственный интеграл 1-го или 2-го рода, или определенный интеграл.
Связь между интегралами 1-го и 2-го рода.
Интегралы 1-го и 2-го рода заменой переменной всегда могут быть сведены друг к другу. Так, если a – особая точка, то можно применить подстановку .
Если особая точка , а интегралы сходятся на участках [ a,c],[c,b], тогда, по определению, . В случае расходимости одного из последних двух интегралов, интеграл на отрезке [ a,b] также расходится.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 41 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |