Читайте также:
|
|
Алгебр опер на мн-во М называется закон, кот каждой паре (a,b) ставит в соответствие 1 элемент С: (а,в)→С; (а,в)е МхМ, сеМ
Группоид – если на М задана операция
- не группоид при a<b на N; - группоид на N
Свойства операций: 1) коммутативность: а*в=в*а 2) ассоциативность а*(в*с)=(а*в)*с 3) для операции существует нейтральный
Элемент е называется нейтральным для операции, если для любого элемента а выполняется равенства . Для сложения е=о, для умножения е=1, для сложения множеств е=Ø, для класа вычетов по mod m е = К-класс
Теорема: операция имеет только один нейтральный элемент.
Док-во: 1) пусть е1 и е2 – нейтральные элементы, тогда а*е1=е1*а=а для всякого а. 2) Пусть а=е2, тогда е1*е2=е2*е1=е2. 3) тк е2- нейтральный элемент, а*е2=е2*а=а для всякого а. 4) Пусть а =е1, тогда е1*е2=е2*е1=е1. 5) тк е1*е2=е2, е2*е1=е1, то е2=е1, чтд
4) Элемент b называется обратным для a, если выполняются равенства а*в=в*а=е.
Теорема: Если М- ассоциативный группоид, обладающий нейтральным элементом е, то у всякого элемента а может быть не более, чем оди обратный элемент.
Док-во: 1) по условию в – обратный для а, по определению а*в=в*а=е. 2) пусть с- обратный для а, тогда а*с=с*а=е 3) а*в=е; тогда с*(а*в) = е*с – заменим а
*в на е; 4) по ассоциативности (с*а)*в=с*е; 5) (с*а)*в=е*в =в; 6) по св-ву е: с*е=с, значит, в=с (из (с*а)*в=с*е), чтд.
Обратный элемент для а – а-1.
А ссоциативный группоид G, обладающий нейтральным элементом, называется группой, если для всякого элемента существует обратный элемент g-1.
Условия:
1) на множестве M определена операция 2)операция ассоциативна (выполняется a(bc)=(ab)c) 3) существует нейтральный элемент е 4) для всякого элемента существует обратный элемент a-1, т.е. такой, что aa-1=a-1a=e
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 43 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |